2025-11-03 10:12:08
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка C₁ так, что C₁B = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку C₁ и пересекает сторону AB в точке A₁.
а) Докажите, что треугольник ADC подобен треугольнику C₁BA₁.
б) Найдите длину стороны AD, если A₁C₁ = 4 см, а AC = 12 см.
Точка S не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что линия пересечения плоскостей SAB и SCD параллельна плоскости параллелограмма.
Геометрия 11 класс Подобие треугольников и свойства параллелограммов параллелограмм треугольник подобие длина стороны геометрия 11 класс доказательство плоскость диагональ пересечение плоскостей Новый
2025-11-03 10:12:28
Давайте решим задачу поэтапно.
а) Доказательство подобия треугольников ADC и C₁BA₁:Для начала, вспомним, что два треугольника подобны, если у них равны соответствующие углы или если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.
- В треугольнике ADC угол ACD равен углу C₁BA₁, так как они являются накрест лежащими углами (параллельные линии AB и CD пересечены линией C₁B).
- Также угол DAC равен углу A₁C₁B, так как они тоже являются накрест лежащими углами.
Таким образом, мы имеем равные углы:
- Угол ACD = Угол C₁BA₁
- Угол DAC = Угол A₁C₁B
Следовательно, по двум равным углам треугольники ADC и C₁BA₁ подобны (по критерию AA).
б) Найдем длину стороны AD:Мы знаем, что треугольники подобны, и у нас есть пропорции сторон. Из условия задачи нам даны следующие длины:
- A₁C₁ = 4 см
- AC = 12 см
Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны:
- AD / A₁C₁ = AC / C₁B
Теперь подставим известные значения:
- AD / 4 = 12 / 3
Упрощаем правую часть:
- AD / 4 = 4
Теперь умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы найти AD:
- AD = 4 * 4 = 16 см
Таким образом, длина стороны AD равна 16 см.
Доказательство, что линия пересечения плоскостей SAB и SCD параллельна плоскости параллелограмма:Рассмотрим плоскости SAB и SCD. Плоскость SAB содержит точки S, A и B, а плоскость SCD содержит точки S, C и D.
Так как ABCD - параллелограмм, стороны AB и CD параллельны. Следовательно, линии AB и CD не пересекаются и являются параллельными. Теперь, если мы проведем линию, которая является пересечением плоскостей SAB и SCD, то эта линия будет пересекаться с параллельными сторонами AB и CD.
Так как плоскости SAB и SCD содержат точки, которые находятся в параллельных плоскостях (AB и CD), линия пересечения этих плоскостей будет параллельна плоскости параллелограмма ABCD.
Таким образом, мы доказали, что линия пересечения плоскостей SAB и SCD параллельна плоскости параллелограмма.