Для решения задачи начнем с нахождения координат вершин тетраэдра после гомотетий.

Исходные координаты вершин тетраэдра:

• O(0; 0; 0)
• A(4; 0; 0)
• B(0; 4; 0)
• C(0; 0; 4)

Теперь рассмотрим первую гомотетию с центром в точке O и коэффициентом -1.

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k=-1 меняет координаты точки по следующему правилу:

• Для точки P(x, y, z) новые координаты будут P'(-x, -y, -z).

Применяем это правило к каждой вершине:

• O(0; 0; 0) -> O'(0; 0; 0)
• A(4; 0; 0) -> A'(-4; 0; 0)
• B(0; 4; 0) -> B'(0; -4; 0)
• C(0; 0; 4) -> C'(0; 0; -4)

Таким образом, координаты вершин после первой гомотетии:

• O'(0; 0; 0)
• A'(-4; 0; 0)
• B'(0; -4; 0)
• C'(0; 0; -4)

Теперь рассмотрим вторую гомотетию с центром в точке A и коэффициентом 2.

Гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k=2 меняет координаты точки по следующему правилу:

• Для точки P(x, y, z) новые координаты будут P' = A + k(P - A).

Где A(4; 0; 0) - это центр гомотетии. Применим это правило к каждой вершине:

Для точки O(0; 0; 0):

• O' = (4; 0; 0) + 2((0; 0; 0) - (4; 0; 0)) = (4; 0; 0) + 2(-4; 0; 0) = (4 - 8; 0; 0) = (-4; 0; 0).

Для точки B(0; 4; 0):

• B' = (4; 0; 0) + 2((0; 4; 0) - (4; 0; 0)) = (4; 0; 0) + 2(-4; 4; 0) = (4 - 8; 8; 0) = (-4; 8; 0).

Для точки C(0; 0; 4):

• C' = (4; 0; 0) + 2((0; 0; 4) - (4; 0; 0)) = (4; 0; 0) + 2(-4; 0; 4) = (4 - 8; 0; 8) = (-4; 0; 8).

Таким образом, координаты вершин после второй гомотетии:

• O'(-4; 0; 0)
• B'(-4; 8; 0)
• C'(-4; 0; 8)

Теперь перейдем к доказательству, что гомотетия переводит не проходящие через ее центр прямую в параллельную ей прямую и плоскость в параллельную ей плоскость.

Доказательство для прямой:

Пусть у нас есть прямая, заданная уравнением:

• ax + by + cz + d = 0

Гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k будет переводить любую точку P(x, y, z) на новую точку P'(x', y', z'), где:

• x' = A_x + k(x - A_x)
• y' = A_y + k(y - A_y)
• z' = A_z + k(z - A_z)

Таким образом, если P принадлежит прямой, то P' будет также принадлежать новой прямой, которая будет параллельна исходной, так как коэффициенты a, b, c не изменятся.

Доказательство для плоскости:

Пусть у нас есть плоскость, заданная уравнением:

• Ax + By + Cz + D = 0

Гомотетия переводит каждую точку плоскости на новую точку, как и в случае с прямой. Параметры A, B, C не изменяются, следовательно, новая плоскость будет параллельна исходной.

Таким образом, мы показали, что гомотетия переводит не проходящие через ее центр прямую в параллельную ей прямую и плоскость в параллельную ей плоскость.