Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы найти площадь ромба ABCD, в который вписана окружность радиуса 2.

Шаг 1: Определим важные параметры.

• Радиус окружности (r) = 2.
• Длина отрезка BM = 4.

Шаг 2: Найдем длину стороны ромба.

Поскольку окружность вписана в ромб, она касается всех четырех сторон. Длина отрезка BM равна 4, и так как окружность касается стороны BC в точке M, мы можем обозначить длину стороны BC как:

• BC = BM + MC.

Поскольку ромб имеет равные стороны, то все стороны равны, и можно записать:

• AB = BC = CD = DA.

Обозначим длину стороны ромба как a. Тогда:

• BC = 4 + MC = a.

Таким образом, MC = a - 4.

Шаг 3: Используем свойства ромба.

В ромбе ABCD диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Поскольку радиус окружности равен 2, это также является расстоянием от центра окружности до стороны ромба.

Площадь ромба можно выразить через его сторону и высоту:

• Площадь (S) = a * h,

Шаг 4: Найдем площадь ромба.

Теперь мы можем записать:

• S = a * h = a * 2.

Чтобы найти a, вспомним, что для ромба с вписанной окружностью:

• r = (S / P),

Таким образом, мы имеем:

• 2 = (S / 4a).

Подставим S = 2a:

• 2 = (2a / 4a).

Упрощая, получаем:

• 2 = 0.5,

Так как BM = 4, мы можем выразить a:

• BM + MC = a,
• 4 + MC = a.

Теперь мы знаем, что MC = a - 4. Подставим это в уравнение:

• MC = 4.

Таким образом, a = 8.

Шаг 5: Найдем площадь ромба.

Теперь подставим значение a в формулу для площади:

• S = a * h = 8 * 2 = 16.

Ответ: Площадь ромба ABCD равна 16.