Для решения этой задачи начнем с определения необходимых параметров цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра (Sпол) и площадь боковой поверхности (Sбок) связаны с радиусом основания (r) и высотой (h) цилиндра. Формулы для этих площадей выглядят следующим образом:

• Площадь боковой поверхности: Sбок = 2πrh
• Площадь полной поверхности: Sпол = 2πr(h + r)

Из условия задачи мы знаем, что:

• Sпол = 90π
• Sбок = 36π

Теперь подставим значения в формулы:

1. Для площади боковой поверхности:
• 2πrh = 36π
• rh = 18
2. Для площади полной поверхности:
• 2πr(h + r) = 90π
• r(h + r) = 45

Теперь у нас есть система уравнений:

• rh = 18
• r(h + r) = 45

Из первого уравнения выразим h:

• h = 18/r

Подставим это значение во второе уравнение:

• r(18/r + r) = 45
• 18 + r² = 45
• r² = 27
• r = √27 = 3√3

Теперь подставим значение r обратно в первое уравнение, чтобы найти h:

• h = 18/(3√3) = 6/√3 = 2√3

Теперь у нас есть радиус r = 3√3 и высота h = 2√3 цилиндра. Далее, чтобы найти площадь сечения S, которое проходит параллельно оси цилиндра на расстоянии √5 от нее, используем формулу:

S = 2r√(h² - d²), где d - расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Подставим известные значения:

• S = 2 * (3√3) * √((2√3)² - (√5)²)
• S = 6√3 * √(12 - 5)
• S = 6√3 * √7

Теперь найдем S²:

• S² = (6√3 * √7)² = 36 * 3 * 7 = 756

Таким образом, значение выражения S² равно 756.