Похожие вопросы
2025-10-02 10:14:52
Помогите, пожалуйста, желательно с подробным объяснением и рисунком (я вообще не понимаю, где располагать точки). Середины рёбер KN, NM, SR, RP куба KLMNPRST последовательно соединили так, что образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник плоский и является параллелограммом.
Геометрия 11 класс Параллелограммы и их свойства
2025-10-16 15:42:59
Для решения задачи начнем с того, что представим себе куб KLMNPRST и определим, где находятся его вершины и ребра.
Вершины куба расположены следующим образом:
- K(0, 0, 0)
- L(1, 0, 0)
- M(1, 1, 0)
- N(0, 1, 0)
- P(0, 0, 1)
- R(1, 0, 1)
- S(1, 1, 1)
- T(0, 1, 1)
Теперь найдем середины рёбер KN, NM, SR, RP:
- Середина ребра KN: M_KN = ((0 + 0)/2, (0 + 1)/2, (0 + 0)/2) = (0, 0.5, 0)
- Середина ребра NM: M_NM = ((0 + 1)/2, (1 + 1)/2, (0 + 0)/2) = (0.5, 1, 0)
- Середина ребра SR: M_SR = ((1 + 1)/2, (1 + 0)/2, (1 + 1)/2) = (1, 0.5, 1)
- Середина ребра RP: M_RP = ((1 + 0)/2, (0 + 0)/2, (1 + 1)/2) = (0.5, 0, 1)
Теперь у нас есть четыре точки:
- A(0, 0.5, 0) - середина KN
- B(0.5, 1, 0) - середина NM
- C(1, 0.5, 1) - середина SR
- D(0.5, 0, 1) - середина RP
Теперь мы должны доказать, что четырехугольник ABCD является плоским и является параллелограммом.
Для этого сначала покажем, что все четыре точки лежат в одной плоскости. Для этого найдем векторы AB, AD и AC:
- Вектор AB: AB = B - A = (0.5 - 0, 1 - 0.5, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0)
- Вектор AD: AD = D - A = (0.5 - 0, 0 - 0.5, 1 - 0) = (0.5, -0.5, 1)
- Вектор AC: AC = C - A = (1 - 0, 0.5 - 0.5, 1 - 0) = (1, 0, 1)
Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, образованной векторами AB и AD. Для этого найдем векторное произведение:
n = AB × AD = |i j k|
|0.5 0.5 0|
|0.5 -0.5 1|
Вычисляем определитель:
n = i(0.5*1 - 0* (-0.5)) - j(0.5*1 - 0*0.5) + k(0.5*(-0.5) - 0.5*0.5)
n = i(0.5) - j(0.5) + k(-0.5) = (0.5, -0.5, -0.5)
Так как нормальный вектор n не равен нулю, то точки A, B, D и C лежат в одной плоскости.
Теперь докажем, что ABCD является параллелограммом. Для этого нужно показать, что AB и CD параллельны, а также AD и BC.
Вектор BC: BC = C - B = (1 - 0.5, 0.5 - 1, 1 - 0) = (0.5, -0.5, 1)
Мы видим, что векторы AD и BC равны, следовательно, они параллельны.
Теперь найдем вектор CD:
CD = D - C = (0.5 - 1, 0 - 0.5, 1 - 1) = (-0.5, -0.5, 0)
Теперь мы можем заметить, что AB и CD также равны по величине и направлению, что также подтверждает, что они параллельны.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является плоским и является параллелограммом.