Для решения задачи о нахождении отношения площадей треугольников SКОМC и SABC, воспользуемся свойствами подобия и отношениями отрезков, которые заданы в условии.

1. Начнем с того, что в треугольнике ABC у нас есть точки K и M на сторонах AC и BC соответственно. Мы знаем, что:

• CK / KA = 4/1, что означает, что CK = 4x и KA = x для некоторого x.
• CM : MB = 3: 2, что означает, что CM = 3y и MB = 2y для некоторого y.

2. Теперь найдем полные длины отрезков:

• AC = CK + KA = 4x + x = 5x.
• BC = CM + MB = 3y + 2y = 5y.

3. Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем отрезки BK и AM. Поскольку точки K и M делят стороны AC и BC в заданных отношениях, это позволяет нам воспользоваться теоремой о подобии треугольников.

4. Отметим, что точка O является пересечением отрезков BK и AM. Треугольники KOM и ABC имеют общее основание (отрезок OM) и общую высоту, проведенную из точки K на основание BC. Таким образом, площади этих треугольников можно выразить через их основания и высоты.

5. Теперь, чтобы найти отношение площадей SКОМC и SABC, воспользуемся следующей формулой:

6. Сначала найдем отношение оснований:

• Отрезок KM будет равен CK + CM = 4x + 3y.
• Отрезок AB равен полной длине стороны AB треугольника ABC.

7. Теперь определим высоты. Высота из точки K на сторону BC пропорциональна отношению отрезков, на которые делятся стороны треугольника, то есть:

• Высота из K пропорциональна CK = 4x.
• Высота из точки A на сторону BC пропорциональна полной высоте треугольника ABC.

8. Таким образом, итоговое отношение SКОМC : SABC можно записать как:

9. Подставим известные значения:

• KM = 4x + 3y,
• CK = 4x,
• CM = 3y.

10. Итоговое отношение будет равно:

11. Упрощая, получаем:

Таким образом, окончательный ответ: