Правильная четырёхугольная пирамида с основанием в 8 см и высотой 9 см равновелика правильной треугольной пирамиде с основанием в 10 см. Какова высота этой правильной треугольной пирамиды?

Геометрия 11 класс Пирамиды и их объемы правильная четырехугольная пирамида высота пирамиды основание пирамиды правильная треугольная пирамида геометрия 11 класс задачи по геометрии равновеликие пирамиды Новый

Для решения этой задачи нам нужно найти высоту правильной треугольной пирамиды, зная, что она равновелика правильной четырёхугольной пирамиде. Начнём с определения объёмов обеих пирамид.

Шаг 1: Найдём объём правильной четырёхугольной пирамиды.

• Формула для объёма пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.
• Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат со стороной 8 см.
• Площадь основания S = 8 см * 8 см = 64 см².
• Высота h = 9 см.
• Теперь подставим значения в формулу: V = (1/3) * 64 см² * 9 см = 192 см³.

Шаг 2: Найдём объём правильной треугольной пирамиды.

• Формула для объёма правильной треугольной пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.
• Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник со стороной 10 см.
• Площадь основания S равностороннего треугольника вычисляется по формуле: S = (sqrt(3)/4) * a², где a - длина стороны треугольника.
• Подставляем значение: S = (sqrt(3)/4) * (10 см)² = (sqrt(3)/4) * 100 см² = 25sqrt(3) см².

Шаг 3: Установим равенство объёмов.

• Мы знаем, что объёмы пирамид равны: 192 см³ = (1/3) * (25sqrt(3) см²) * h.
• Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: 576 см³ = 25sqrt(3) см² * h.
• Теперь выразим h: h = 576 см³ / (25sqrt(3) см²).

Шаг 4: Вычислим высоту h.

• Для вычисления h, нам нужно разделить 576 на 25sqrt(3).
• Поскольку sqrt(3) примерно равно 1.732, можем подставить это значение: h ≈ 576 / (25 * 1.732).
• Теперь вычислим: 25 * 1.732 ≈ 43.3, следовательно, h ≈ 576 / 43.3 ≈ 13.3 см.

Ответ: Высота правильной треугольной пирамиды составляет примерно 13.3 см.