Для решения данной задачи начнем с анализа прямоугольника и его свойств.

1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b, где a - это сторона, вокруг которой будет происходить вращение, а b - другая сторона. Из условия задачи известно, что диагональ прямоугольника равна 12.

2. По теореме Пифагора, диагональ D прямоугольника может быть выражена через его стороны:

• D = √(a² + b²)

Подставляем известное значение:

• 12 = √(a² + b²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• 144 = a² + b².

3. Также известно, что одна из сторон образует угол 60° с диагональю. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения соотношений между сторонами a и b. Угол между диагональю и стороной b равен 60°. Это значит, что:

• cos(60°) = a / 12
• sin(60°) = b / 12

Зная, что cos(60°) = 0.5 и sin(60°) = √3/2, мы можем записать:

• a = 12 * 0.5 = 6
• b = 12 * (√3/2) = 6√3.

4. Теперь подставим найденные значения a и b в уравнение для диагонали:

• a² + b² = 6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144.

Это подтверждает правильность наших расчетов, так как диагональ действительно равна 12.

5. Теперь найдем площадь основания тела, полученного в результате вращения. Это тело является цилиндром, у которого основание - это круг, радиус которого равен стороне b (в нашем случае 6√3).

Сначала найдем площадь основания:

• Площадь круга S = π * r², где r = b = 6√3.

Подставляем значение радиуса:

• S = π * (6√3)² = π * 108 = 108π.

Таким образом, площадь основания тела, полученного в результате вращения, равна 108π.