Для доказательства того, что прямая MN параллельна плоскости BCD, мы можем воспользоваться свойствами середины отрезков и векторной геометрией. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определим точки и векторы:
   • Пусть A, B, C и D - вершины тетраэдра.
   • Точка M - середина отрезка AB, а значит, вектор OM можно выразить как:
   • OM = (OA + OB) / 2.
   • Точка N - середина отрезка AC, и вектор ON будет:
   • ON = (OA + OC) / 2.
2. Найдем вектор MN:
   • Вектор MN можно выразить как:
   • MN = ON - OM = [(OA + OC) / 2] - [(OA + OB) / 2].
   • Упрощая, получаем:
   • MN = (OC - OB) / 2.
3. Параллельность MN и плоскости BCD:
   • Чтобы показать, что прямая MN параллельна плоскости BCD, нам нужно доказать, что вектор MN перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости BCD.
   • Рассмотрим векторы BC и BD:
   • BC = OC - OB
   • BD = OD - OB
   • Теперь найдем векторное произведение MN и одного из векторов, например, BC:
   • MN x BC = [(OC - OB) / 2] x (OC - OB).
   • Поскольку векторное произведение вектора самого с собой равно нулю, мы получаем, что MN перпендикулярен BC.
   • Аналогично можно показать, что MN перпендикулярен BD.
4. Заключение:
   • Поскольку вектор MN перпендикулярен двум вектором, лежащим в плоскости BCD, это значит, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Таким образом, мы доказали, что прямая MN действительно параллельна плоскости BCD.