Треугольник задан полярными координатами вершин: А(5; П/2), В(8; 5П/6), С(3; 7П/6). Как можно доказать, что этот треугольник является равнобедренным?

Геометрия 11 класс Полярные координаты и свойства треугольников треугольник полярные координаты равнобедренный треугольник доказательство геометрия 11 класс вершины треугольника свойства треугольника Новый

Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно показать, что хотя бы две его стороны равны. Мы можем сделать это, сначала преобразовав полярные координаты вершин в декартовы координаты, а затем вычислив длины сторон треугольника.

Вспомним, что в полярных координатах точка задается как (r; θ), где r — радиус, а θ — угол. Декартовы координаты (x, y) можно найти по следующим формулам:

• x = r * cos(θ)
• y = r * sin(θ)

Теперь найдем декартовы координаты каждой вершины:

1. Для точки A(5; П/2):
• x_A = 5 * cos(П/2) = 5 * 0 = 0
• y_A = 5 * sin(П/2) = 5 * 1 = 5
2. Для точки B(8; 5П/6):
• x_B = 8 * cos(5П/6) = 8 * (-√3/2) = -4√3
• y_B = 8 * sin(5П/6) = 8 * (1/2) = 4
3. Для точки C(3; 7П/6):
• x_C = 3 * cos(7П/6) = 3 * (-√3/2) = -3√3/2
• y_C = 3 * sin(7П/6) = 3 * (-1/2) = -3/2

Теперь у нас есть координаты вершин:

• A(0; 5)
• B(-4√3; 4)
• C(-3√3/2; -3/2)

Теперь мы можем вычислить длины сторон треугольника AB, BC и CA, используя формулу для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

1. Длина стороны AB:

AB = √((-4√3 - 0)² + (4 - 5)²) = √((16 * 3) + 1) = √(48 + 1) = √49 = 7

2. Длина стороны BC:

BC = √((-3√3/2 + 4√3)² + (-3/2 - 4)²) = √((5√3/2)² + (-11/2)²) = √((25 * 3 / 4) + (121 / 4)) = √(75/4 + 121/4) = √(196/4) = √49 = 7

3. Длина стороны CA:

CA = √((0 + 3√3/2)² + (5 + 3/2)²) = √((3√3/2)² + (13/2)²) = √((27/4) + (169/4)) = √(196/4) = √49 = 7

Теперь мы видим, что все три стороны равны:

• AB = 7
• BC = 7
• CA = 7

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным (на самом деле, он равносторонний, так как все стороны равны). Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным.