Для решения этой задачи давайте представим ситуацию геометрически.

У нас есть окружность радиуса R и точка P, из которой проведены две касательные к окружности, которые пересекаются в точке Q. Угол между касательными PQ1 и PQ2 равен 60°. Мы хотим найти наименьшее расстояние от точки Q до окружности.

1. Поскольку угол между касательными равен 60°, то угол между радиусами, проведенными к точкам касания (обозначим их A и B), будет равен 90° - 30° = 60° (так как радиусы перпендикулярны касательным).
2. Теперь рассмотрим треугольник OQA, где O - центр окружности, Q - точка пересечения касательных, A - точка касания. В этом треугольнике угол OAQ равен 30° (половина угла между касательными).
3. Сторона OA равна радиусу окружности R. Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти расстояние от точки Q до окружности, то есть длину отрезка OQ. В треугольнике OQA применим закон синусов:
4. Согласно закону синусов, OQ = OA / cos(30°), где OA = R и cos(30°) = √3/2. Таким образом, OQ = R / (√3/2) = 2R/√3.
5. Теперь находим расстояние от точки Q до окружности. Это будет OQ - OA, то есть 2R/√3 - R. Приведем к общему знаменателю:
6. Расстояние = (2R - R√3) / √3.
7. Чтобы найти наименьшее расстояние, нам нужно рассмотреть, когда это выражение будет минимальным. Важно заметить, что минимальное расстояние от точки Q до окружности будет равно R/√3, когда Q находится на определенной позиции относительно окружности.

Таким образом, наименьшее расстояние от точки пересечения касательных до окружности равно R/√3. Однако, чтобы выбрать из предложенных вариантов, мы можем заметить, что √3R/3 = R/√3.

Среди предложенных вариантов правильный ответ - R/2.