2025-10-31 03:51:09
Условие задания:
Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 2.
Уравнение прямой: x + y + c = 0.
Каковы значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая касается окружности)?
(Запиши значения c через точку с запятой; без пустых мест в возрастающем порядке.)
c = |
Геометрия 11 класс Уравнение окружности и касательная прямая уравнение окружности уравнение прямой касание окружности значения коэффициента c геометрия 11 класс одна общая точка Новый
2025-10-31 03:51:29
Для решения задачи нам нужно определить, при каких значениях коэффициента c прямая будет касаться окружности. Окружность задана уравнением:
x^2 + y^2 = 2
Это окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом √2.
Уравнение прямой имеет вид:
x + y + c = 0
Мы можем переписать это уравнение в виде:
y = -x - c
Теперь подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности:
x^2 + (-x - c)^2 = 2
Раскроем скобки:
x^2 + (x^2 + 2xc + c^2) = 2
Соберем все слагаемые:
2x^2 + 2xc + c^2 - 2 = 0
Это квадратное уравнение относительно x. Чтобы прямая касалась окружности, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c равен:
D = b^2 - 4ac
В нашем случае:
- a = 2
- b = 2c
- c = c^2 - 2
Теперь подставим значения в формулу для дискриминанта:
D = (2c)^2 - 4 * 2 * (c^2 - 2)
Упростим это выражение:
D = 4c^2 - 8(c^2 - 2)
D = 4c^2 - 8c^2 + 16
D = -4c^2 + 16
Теперь приравняем дискриминант к нулю:
-4c^2 + 16 = 0
Решим это уравнение:
4c^2 = 16
c^2 = 4
c = ±2
Таким образом, значения коэффициента c, при которых прямая касается окружности, равны:
c = -2; 2
Ответ: c = -2; 2