Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы выяснить, какие из предложенных утверждений верны. 1. **Длина пространственной ломаной AB₁BCD составляет 12√6.** Пространственная ломаная AB₁BCD состоит из следующих отрезков: - AB (ребро куба) - B₁B (ребро куба) - BC (ребро куба) - CD (ребро куба) - DA (ребро куба) Обозначим длину ребра куба как a. Тогда длина ломаной составит: - AB = a - B₁B = a - BC = a - CD = a - DA = a Таким образом, общая длина ломаной равна 5a. Мы знаем, что 5a = 12√6. Отсюда находим a: a = (12√6) / 5. 2. **Объем куба равен 162√6.** Объем куба V = a³. Подставляем значение a: V = [(12√6) / 5]³ = (12³ * (√6)³) / 5³ = (1728 * 6√6) / 125 = (10368√6) / 125. Это не равно 162√6, следовательно, утверждение 1 неверно. 3. **Длина диагонали куба равна 6√3.** Длина диагонали куба D = a√3. Подставляем значение a: D = [(12√6) / 5]√3 = (12√18) / 5 = (12 * 3√2) / 5 = (36√2) / 5. Это не равно 6√3, следовательно, утверждение 2 неверно. 4. **Площадь полной поверхности куба равна 216.** Площадь полной поверхности S = 6a². Подставляем значение a: S = 6 * [(12√6) / 5]² = 6 * (144 * 6) / 25 = (864) / 25. Это не равно 216, следовательно, утверждение 3 неверно. 5. **Длина ребра куба равна 3√6.** Мы уже нашли a = (12√6) / 5, что не равно 3√6, следовательно, утверждение 4 неверно. 6. **Площадь треугольника AC₁C равна 27√2.** Для нахождения площади треугольника AC₁C, нужно найти длины его сторон. AC = a√2 (диагональ грани) и C₁C = a (ребро куба). Площадь треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * AC * C₁C * sin(90°) = (1/2) * (a√2) * a = (1/2) * a²√2. Подставляем значение a: S = (1/2) * [(12√6) / 5]² * √2 = (1/2) * (144 * 6 / 25) * √2 = (432√2) / 25. Это не равно 27√2, следовательно, утверждение 5 неверно. 7. **Длина диагонали грани ABCD равна 3√6.** Длина диагонали грани ABCD равна AC = a√2. Подставляем значение a: AC = [(12√6) / 5]√2 = (12√12) / 5 = (12 * 2√3) / 5 = (24√3) / 5. Это не равно 3√6, следовательно, утверждение 6 неверно. Таким образом, все предложенные утверждения неверны.