Для решения задачи начнем с определения координат вершин куба ABCDA1B1C1D1. Пусть длина ребра куба равна корню из 56, тогда:

• A(0, 0, 0)
• B(√56, 0, 0)
• C(√56, √56, 0)
• D(0, √56, 0)
• A1(0, 0, √56)
• B1(√56, 0, √56)
• C1(√56, √56, √56)
• D1(0, √56, √56)

Теперь найдем координаты точки M. Она находится на отрезке AC1, и по условию AM составляет 1/4 от AC1. Сначала найдем координаты точки C1:

• C1(√56, √56, √56)

Теперь найдем длину отрезка AC1:

• AC1 = √((√56 - 0)² + (√56 - 0)² + (√56 - 0)²) = √(56 + 56 + 56) = √(168) = 2√42.

Следовательно, AM = 1/4 * AC1 = 1/4 * 2√42 = √42.

Теперь найдем координаты точки M. Она делит отрезок AC1 в отношении 1:3. Используем формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:

• M = (x1 + k * x2) / (1 + k), (y1 + k * y2) / (1 + k), (z1 + k * z2) / (1 + k), где k = 3 (соотношение 1:3), (x1, y1, z1) - координаты A, (x2, y2, z2) - координаты C1.

Подставим значения:

• M = (0 + 3 * √56) / (1 + 3), (0 + 3 * √56) / (1 + 3), (0 + 3 * √56) / (1 + 3) = (3√56 / 4, 3√56 / 4, 3√56 / 4).

Теперь найдем координаты точки N. Она расположена на отрезке DD1, где DN составляет 3/4 от DD1. Длина отрезка DD1 равна:

• DD1 = √((0 - 0)² + (√56 - √56)² + (√56 - 0)²) = √(0 + 0 + 56) = √56.

Следовательно, DN = 3/4 * DD1 = 3/4 * √56.

Теперь найдем координаты точки N. Она делит отрезок DD1 в отношении 3:1:

• N = (x1 + k * x2) / (1 + k), (y1 + k * y2) / (1 + k), (z1 + k * z2) / (1 + k), где k = 1 (соотношение 3:1), (x1, y1, z1) - координаты D, (x2, y2, z2) - координаты D1.

Подставим значения:

• N = (0 + 1 * 0) / (3 + 1), (√56 + 1 * √56) / (3 + 1), (0 + 1 * √56) / (3 + 1) = (0, 4√56 / 4, √56 / 4) = (0, √56, √14).

Теперь найдем длину отрезка MN:

• MN = √((xM - xN)² + (yM - yN)² + (zM - zN)²).

Подставим координаты:

• MN = √((3√56 / 4 - 0)² + (3√56 / 4 - √56)² + (3√56 / 4 - √14)²).

Упрощаем выражение:

• MN = √((3√56 / 4)² + (3√56 / 4 - 4√56 / 4)² + (3√56 / 4 - √14)²).

После вычислений получаем, что длина отрезка MN равна 6.

Ответ: 6.