Для нахождения объема прямой призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. Давайте разберем шаги решения:

В основании призмы лежит равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Из условия нам известно, что:

• AB = 3 см
• AD = 5 см

Поскольку трапеция равнобедренная, то и стороны BC и AD будут равны по длине. Обозначим длину боковых сторон BC и CD как x. Площадь трапеции можно найти по формуле:

Площадь = (a + b) * h / 2,

где a и b — это основания трапеции (BC и AD), а h — высота трапеции.

Сначала нам нужно найти высоту h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В равнобедренной трапеции, если провести перпендикуляр из точки B на сторону AD, мы получим два прямоугольных треугольника.

Известно, что:

• AB = 3 см
• AD = 5 см

В этом случае, длина BC будет равна длине AD, то есть 5 см. Теперь, чтобы найти высоту, мы можем использовать тот факт, что в равнобедренной трапеции высота h и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник:

Половина разности оснований:

(AD - BC) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1 см.

Теперь можем найти высоту h:

h = sqrt(AB^2 - (AD - BC)^2) = sqrt(3^2 - 1^2) = sqrt(9 - 1) = sqrt(8) = 2√2 см.

Теперь подставим значения в формулу площади:

Площадь = (BC + AD) * h / 2 = (3 + 5) * 2√2 / 2 = 8 * √2 см².

Теперь нам нужно найти высоту призмы. Из условия задачи нам известно, что диагональ BD образует угол 45° с плоскостью основания. Это означает, что высота призмы равна длине диагонали BD.

Так как угол 45°, можно сказать, что высота h_prism равна длине основания в этом случае. То есть, высота призмы h_prism = h = 2√2 см.

Теперь можем найти объем призмы по формуле:

Объем = Площадь основания * Высота

Объем = 8√2 * 2√2 = 16 см³.

Таким образом, объем данной прямой призмы составляет 16 см³.