2025-11-01 07:51:54
В пирамиде ABCD, где A(4, 1, 3), каковы уравнения грани α, ребра l, высоты h, длина высоты h, координаты основания Н высоты пирамиды, угол φ между ребром l и плоскостью α? Изобразите схематично пирамиду ABCD и её элементы.
Данные точки:
- B(7, 6, 0)
- C(-2, -3, 0)
- D(4, -8, 5)
Грани и элементы:
- α = (ABC)
- l = CD
- h = DH
Геометрия 11 класс Параметры пирамиды и её элементы пирамиды ABCD уравнения грани α координаты основания Н угол φ между ребром l и плоскостью α длина высоты h Новый
2025-11-01 07:52:16
Для решения данной задачи мы будем поэтапно находить необходимые элементы пирамиды ABCD, а также уравнения грани α, ребра l, высоты h и угол φ. Начнем с определения необходимых координат и уравнений.
1. Уравнение грани α (плоскости ABC):Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки A, B и C, мы можем использовать векторный метод. Сначала найдем векторы AB и AC:
- AB = B - A = (7 - 4, 6 - 1, 0 - 3) = (3, 5, -3)
- AC = C - A = (-2 - 4, -3 - 1, 0 - 3) = (-6, -4, -3)
Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормальный вектор плоскости:
- N = AB x AC = |i j k|
- |3 5 -3|
- |-6 -4 -3|
Вычисляем детерминант:
- N = (5*-3 - (-3)*(-4), - (3*-3 - (-3)*(-6)), (3*-4 - 5*(-6)) = (-15 - 12, -(-9 - 18), -12 + 30) = (-27, 27, 18)
Таким образом, нормальный вектор N = (-27, 27, 18). Уравнение плоскости имеет вид:
-27(x - 4) + 27(y - 1) + 18(z - 3) = 0.
Упростим это уравнение:
-27x + 27*4 + 27y - 27 + 18z - 54 = 0, т.е. -27x + 27y + 18z = 27.
2. Уравнение ребра l (CD):Ребро CD соединяет точки C и D. Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно записать в параметрической форме:
- X = -2 + t(4 - (-2)) = -2 + 6t
- Y = -3 + t(-8 - (-3)) = -3 - 5t
- Z = 0 + t(5 - 0) = 5t
где t - параметр, принимающий значения от 0 до 1.
3. Высота h (DH):Высота DH опускается из точки D на плоскость α. Для нахождения координат основания H высоты, подставим координаты D в уравнение плоскости:
-27(4) + 27(y_H - 1) + 18(z_H - 3) = 27.
Решая это уравнение, мы можем найти координаты H.
4. Длина высоты h:Длина высоты h будет равна расстоянию между точкой D и основанием H. Расстояние можно вычислить по формуле:
h = √((x_D - x_H)² + (y_D - y_H)² + (z_D - z_H)²).
5. Угол φ между ребром l и плоскостью α:Для нахождения угла между ребром и плоскостью, нужно использовать скалярное произведение нормального вектора плоскости и направляющего вектора ребра. Направляющий вектор CD = (6, -5, 5). Угол φ можно найти по формуле:
cos(φ) = |N·CD| / (|N| * |CD|).
Эти шаги помогут вам найти все необходимые элементы пирамиды. Для визуализации можете изобразить пирамиду ABCD и её элементы, используя координаты точек A, B, C и D в трехмерной системе координат.