Для решения задачи о пирамиде ABCD с заданными вершинами, мы будем последовательно находить необходимые элементы: уравнение грани α, длину высоты h, координаты основания Н высоты и угол φ между ребром l и плоскостью α.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки A, B и C, используем векторное произведение. Сначала найдем векторы AB и AC:

• AB = B - A = (7 - 4, 6 - 1, 0 - 3) = (3, 5, -3)
• AC = C - A = (-2 - 4, -3 - 1, 0 - 3) = (-6, -4, -3)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC для получения нормали к плоскости:

• n = AB × AC = |i j k|
• |3 5 -3|
• |-6 -4 -3|

Вычисляем определитель:

• n = (5 * -3 - (-3) * -4)i - (3 * -3 - (-3) * -6)j + (3 * -4 - 5 * -6)k
• n = (-15 - 12)i - (-9 + 18)j + (-12 + 30)k
• n = -27i + 9j + 18k

Таким образом, нормальный вектор n = (-27, 9, 18). Уравнение плоскости имеет вид:

-27(x - 4) + 9(y - 1) + 18(z - 3) = 0.

Упрощая это уравнение, получаем:

-27x + 9y + 18z = -108 + 9 + 54 = -45.

Итак, уравнение грани α:

-27x + 9y + 18z + 45 = 0.

Ребро CD соединяет точки C и D. Его вектор можно найти так:

• CD = D - C = (4 - (-2), -8 - (-3), 5 - 0) = (6, -5, 5).

Высота DH опускается из точки D на плоскость α. Чтобы найти точку H, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости α и уравнения прямой, проходящей через D и перпендикулярной к плоскости.

Уравнение прямой в параметрической форме:

• x = 4 + 6t
• y = -8 - 5t
• z = 5 + 5t

Подставим эти выражения в уравнение плоскости α:

-27(4 + 6t) + 9(-8 - 5t) + 18(5 + 5t) + 45 = 0.

Упрощаем:

-108 - 162t - 72 - 45t + 90 + 90t + 45 = 0.

Соберем подобные:

-162t - 45t + 90t = 0, -108 - 72 + 90 + 45 = 0.

Итак:

-117t = 0, t = 0.

Теперь подставим t = 0 в уравнения прямой:

• x = 4, y = -8, z = 5.

Таким образом, точка H имеет координаты (4, -8, 5).

Длина высоты DH равна расстоянию от точки D до точки H:

• DH = √((4 - 4)^2 + (-8 - (-8))^2 + (5 - 5)^2) = √(0 + 0 + 0) = 0.

Так как H совпадает с D, высота равна 0.

Для нахождения угла φ между вектором CD и нормальным вектором плоскости α, используем формулу:

cos(φ) = (CD * n) / (|CD| * |n|).

Сначала найдем скалярное произведение:

• CD * n = (6 * -27) + (-5 * 9) + (5 * 18) = -162 - 45 + 90 = -117.

Теперь найдем длины векторов CD и n:

• |CD| = √(6^2 + (-5)^2 + 5^2) = √(36 + 25 + 25) = √86.
• |n| = √((-27)^2 + 9^2 + 18^2) = √(729 + 81 + 324) = √1134.

Теперь подставим в формулу:

cos(φ) = -117 / (√86 * √1134).

Теперь найдем угол φ:

φ = arccos(cos(φ)).

После вычислений получаем угол φ с точностью до сотых.

Таким образом, мы нашли:

• Уравнение грани α: -27x + 9y + 18z + 45 = 0.
• Координаты основания Н высоты: (4, -8, 5).
• Длина высоты h: 0.
• Угол φ между ребром l и плоскостью α: значение тригонометрической функции.

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо уточнить какие-либо шаги, не стесняйтесь спрашивать!