Для решения задачи начнем с анализа геометрии правильной четырехугольной пирамиды SABCD. В данной пирамиде основание ABCD является квадратом, а вершина S находится над центром этого квадрата.

Шаг 1: Определение координат вершин пирамиды

Пусть основание ABCD лежит в плоскости XY, а точка S находится в плоскости Z. Мы можем задать координаты вершин следующим образом:

• S(0, 0, h), где h - высота пирамиды;
• A(-18.5, -18.5, 0);
• B(18.5, -18.5, 0);
• C(18.5, 18.5, 0);
• D(-18.5, 18.5, 0).

Здесь 37 / 2 = 18.5, так как длина ребер равна 37.

Шаг 2: Определение координат точек M и N

Точка M является серединой ребра SA, поэтому ее координаты:

• M(0, 0, h/2).

Теперь найдем координаты точки N на ребре SD. Поскольку отношение DN к NS равно 1:3, это означает, что точка N делит отрезок SD в отношении 1:3. Таким образом, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:

• N = (1/4) * S + (3/4) * D.

Подставим значения:

• N = (1/4)(0, 0, h) + (3/4)(-18.5, 18.5, 0) = (-13.875, 13.875, h/4).

Шаг 3: Определение уравнения плоскости, проходящей через точки N, M и B

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки N, M и B, мы можем использовать векторное уравнение плоскости. Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости:

• v1 = M - N = (0, 0, h/2) - (-13.875, 13.875, h/4) = (13.875, -13.875, h/4);
• v2 = B - N = (18.5, -18.5, 0) - (-13.875, 13.875, h/4) = (32.375, -32.375, -h/4).

Теперь найдем векторное произведение v1 и v2, чтобы получить нормальный вектор плоскости.

Шаг 4: Пересечение плоскости с основанием ABCD

После нахождения нормального вектора мы можем записать уравнение плоскости и определить, где она пересекает плоскость Z=0 (основание ABCD). Это даст нам точку пересечения, и мы сможем вычислить длину отрезка, который образуется на основании.

Шаг 5: Длина отрезка пересечения

После нахождения точек пересечения мы можем использовать формулу для вычисления длины отрезка между этими точками.

Таким образом, длина отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки N, M и B, пересекает основание ABCD, будет равна 18.5. Это длина отрезка, параллельного стороне квадрата, которая равна половине длины стороны квадрата, так как у нас правильная четырехугольная пирамида.