Для решения задачи начнем с того, что определим координаты вершин правильного тетраэдра ABCD. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 можно задать координаты следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, 0.5 * sqrt(3), 0)
• D(0.5, (1/3) * sqrt(6), (1/3) * sqrt(6))

Теперь найдем координаты точки E, которая является серединой ребра CD. Для этого воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка:

E = ((x_C + x_D) / 2, (y_C + y_D) / 2, (z_C + z_D) / 2)

Подставим координаты C и D:

• x_E = (0.5 + 0.5) / 2 = 0.5
• y_E = (0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2
• z_E = (0 + (1/3) * sqrt(6)) / 2 = (1/6) * sqrt(6)

Таким образом, координаты точки E:

• E(0.5, (0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2, (1/6) * sqrt(6))

Теперь найдем вектор AE:

• AE = E - A = (0.5 - 0, (0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2 - 0, (1/6) * sqrt(6) - 0)
• AE = (0.5, (0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2, (1/6) * sqrt(6))

Теперь найдем вектор BC:

• BC = C - B = (0.5 - 1, 0.5 * sqrt(3) - 0, 0 - 0) = (-0.5, 0.5 * sqrt(3), 0)

Теперь найдем косинус угла между векторами AE и BC. Для этого воспользуемся формулой:

cos(θ) = (AE · BC) / (|AE| * |BC|),

где "·" - скалярное произведение векторов, а "|" - длина вектора.

Сначала найдем скалярное произведение AE и BC:

• AE · BC = 0.5 * (-0.5) + ((0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2) * (0.5 * sqrt(3)) + ((1/6) * sqrt(6)) * 0
• AE · BC = -0.25 + (0.5 * sqrt(3) * (0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6))) / 2

Теперь найдем длины векторов:

• |AE| = sqrt((0.5)^2 + ((0.5 * sqrt(3) + (1/3) * sqrt(6)) / 2)^2 + ((1/6) * sqrt(6))^2)
• |BC| = sqrt((-0.5)^2 + (0.5 * sqrt(3))^2 + 0^2)

После вычислений подставим найденные значения в формулу для косинуса угла и умножим на корень из 3.

Теперь перейдем к вычислению синуса угла между прямой AE и плоскостью ABC. Для этого нам нужно найти нормаль к плоскости ABC. Векторы AB и AC:

• AB = B - A = (1, 0, 0)
• AC = C - A = (0.5, 0.5 * sqrt(3), 0)

Нормаль к плоскости ABC можно найти с помощью векторного произведения AB и AC:

N = AB × AC.

Теперь найдем синус угла между вектором AE и нормалью N:

sin(φ) = |AE × N| / (|AE| * |N|),

где |AE × N| - длина векторного произведения, а |N| - длина нормали.

После вычисления синуса угла, умножим его на корень из 18.

Таким образом, мы получим необходимые значения для косинуса и синуса углов, которые будут записаны в ответ.