Давайте решим первую часть задачи, где нам нужно найти длину высоты MO в правильной четырехугольной пирамиде MABCD.

В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом, и все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Точка O - это центр основания, и высота MO перпендикулярна основанию.

Для начала определим координаты точек. Пусть A, B, C, D - вершины основания квадрата, а M - вершина пирамиды. Поскольку основание квадратное, расположим его следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(6, 0, 0)
• C(6, 6, 0)
• D(0, 6, 0)

Теперь найдем координаты точки O, центра квадрата. Координаты O будут:

• O(3, 3, 0)

Теперь мы знаем, что MC = 10, а AC = 12. Сначала найдем длину AC:

Длина AC равна расстоянию между точками A и C:

AC = sqrt((6 - 0)^2 + (6 - 0)^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 12.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике MOC, где MO - высота, OC - половина диагонали квадрата, а MC - наклонная сторона, мы можем найти MO:

Сначала найдем длину OC:

OC = sqrt((3 - 6)^2 + (3 - 6)^2) = sqrt((-3)^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3sqrt(2).

Теперь применим теорему Пифагора:

MC^2 = MO^2 + OC^2.

Подставим известные значения:

10^2 = MO^2 + (3sqrt(2))^2.

100 = MO^2 + 18.

Теперь решим это уравнение:

MO^2 = 100 - 18 = 82.

Следовательно, MO = sqrt(82).

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти объем пирамиды.

Формула для объема V правильной четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания, а h - высота.

Площадь основания S квадрата со стороной 6 равна:

S = 6 * 6 = 36.

Теперь нам нужно найти высоту h. Мы знаем, что боковая поверхность равна 60. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна:

Площадь боковой поверхности = (периметр основания * высота боковой грани) / 2.

Периметр основания квадрата равен 4 * 6 = 24.

Подставим это в формулу:

60 = (24 * h') / 2,

где h' - высота боковой грани. Упростим это уравнение:

60 = 12h',

h' = 60 / 12 = 5.

Теперь мы можем найти высоту h, используя высоту боковой грани и высоту MO:

h = sqrt(MO^2 + (3)^2).

Теперь подставим значения:

h = sqrt(82 + 9) = sqrt(91).

Теперь можем найти объем:

V = (1/3) * 36 * sqrt(91) = 12 * sqrt(91).

Таким образом, объем пирамиды равен 12 * sqrt(91).