В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, где ЅK - апофема, равная 10 см, а SO - высота, угол ЅKO составляет 60°. Как можно вычислить площадь основания этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида апофема высота угол площадь основания геометрия 11 класс вычисление площади задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD, нам нужно использовать данные о высоте и апофеме. Давайте разберем решение шаг за шагом.

1. Определим необходимые элементы:
   • Пусть S - вершина пирамиды, A, B, C, D - вершины основания, которое является квадратом.
   • K - середина стороны основания (например, стороны AB).
   • SO - высота пирамиды, которая перпендикулярна основанию и проходит через точку S и точку O, где O - центр квадрата ABCD.
   • SK - апофема, равная 10 см.
   • Угол SKO равен 60°.
2. Используем тригонометрию для нахождения SO:
   • В треугольнике SKO, где SK - апофема, SO - высота, а угол SKO = 60°, мы можем использовать соотношение:
   • cos(60°) = SO / SK.
   • Так как cos(60°) = 0.5, то у нас получается:
   • 0.5 = SO / 10.
   • Отсюда находим SO:
   • SO = 10 * 0.5 = 5 см.
3. Теперь найдем длину стороны основания квадрата:
   • В треугольнике SKO, используя sin(60°):
   • sin(60°) = KO / SK.
   • sin(60°) = √3 / 2, значит:
   • √3 / 2 = KO / 10.
   • KO = 10 * √3 / 2 = 5√3 см.
4. Теперь найдем длину стороны квадрата:
   • Поскольку K - середина стороны AB, то длина стороны квадрата равна 2 * KO:
   • Длина стороны квадрата = 2 * 5√3 = 10√3 см.
5. Теперь можем вычислить площадь основания:
   • Площадь квадрата = (длина стороны)^2:
   • Площадь = (10√3)² = 100 * 3 = 300 см².

Ответ: Площадь основания пирамиды SABCD составляет 300 см².