2025-11-10 21:35:30
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, где все ребра равны, точка M является серединой ребра SB. Какой косинус угла образуют прямые AM и BD? (Используйте теорему косинусов)
Геометрия 11 класс Геометрия правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида точка M середина ребра SB косинус угла AM косинус угла BD теорема косинусов геометрия 11 класс
2025-11-10 21:35:52
Чтобы найти косинус угла между прямыми AM и BD в правильной четырехугольной пирамиде SABCD, где все ребра равны, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Определение координат точекПредположим, что длина ребра пирамиды равна a. Мы можем задать координаты точек следующим образом:
- S(0, 0, h) - вершина пирамиды, где h - высота.
- A(-a/2, -a/2, 0) - одна из вершин основания.
- B(a/2, -a/2, 0) - другая вершина основания.
- C(a/2, a/2, 0) - третья вершина основания.
- D(-a/2, a/2, 0) - четвертая вершина основания.
- M(0, -a/2, h/2) - середина ребра SB.
Теперь найдем векторы AM и BD:
- Вектор AM = M - A = (0, -a/2, h/2) - (-a/2, -a/2, 0) = (a/2, 0, h/2).
- Вектор BD = D - B = (-a/2, a/2, 0) - (a/2, -a/2, 0) = (-a, a, 0).
Теперь мы можем найти длины этих векторов:
- Длина вектора AM = √((a/2)² + 0² + (h/2)²) = √(a²/4 + h²/4) = (1/2)√(a² + h²).
- Длина вектора BD = √((-a)² + a² + 0²) = √(2a²) = a√2.
Теперь найдем скалярное произведение векторов AM и BD:
- AM · BD = (a/2)(-a) + (0)(a) + (h/2)(0) = -a²/2.
Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами, мы получаем:
cos(θ) = (AM · BD) / (|AM| * |BD|).
Подставим значения:
- cos(θ) = (-a²/2) / ((1/2)√(a² + h²) * (a√2)) = -a / (√(a² + h²) * √2).
Косинус угла между прямыми AM и BD равен -a / (√(a² + h²) * √2).