В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания составляет 6 см, а площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. Как можно определить объем этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида объём пирамиды площадь боковой поверхности площадь основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Основание пирамиды - это квадрат, так как у нас правильная четырехугольная пирамида. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Площадь = сторона * сторона.

В нашем случае сторона основания составляет 6 см, значит:

Площадь основания = 6 см * 6 см = 36 см².

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности.

Согласно условию, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания:

Площадь боковой поверхности = 2 * Площадь основания = 2 * 36 см² = 72 см².

Шаг 3: Найдем высоту боковой поверхности.

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.

В нашем случае основание треугольника - это сторона квадрата (6 см), а высота - это высота треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания.

Площадь одного треугольника = 1/2 * 6 см * h, где h - высота треугольника.

Так как у нас четыре таких треугольника, то:

4 * (1/2 * 6 см * h) = 72 см².

Упрощаем это уравнение:

12 см * h = 72 см².

Теперь делим обе стороны на 12 см:

h = 72 см² / 12 см = 6 см.

Таким образом, высота боковой поверхности (высота треугольника) равна 6 см.

Шаг 4: Найдем высоту пирамиды.

Теперь нам нужно найти высоту самой пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде высота пирамиды, высота боковой поверхности и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора.

Радиус основания равен половине стороны квадрата, то есть 3 см. Высота боковой поверхности (h) равна 6 см. Обозначим высоту пирамиды как H.

По теореме Пифагора:

H² + 3² = 6².

H² + 9 = 36.

H² = 36 - 9 = 27.

H = √27 = 3√3 см.

Шаг 5: Найдем объем пирамиды.

Теперь мы можем найти объем пирамиды по формуле:

Объем = (1/3) * Площадь основания * Высота.

Подставляем найденные значения:

Объем = (1/3) * 36 см² * 3√3 см.

Объем = 12 см² * 3√3 см = 36√3 см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет 36√3 см³.