Для решения задачи начнем с определения координат всех ключевых точек в пространстве.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является квадратом со стороной 1. Мы можем задать координаты точек следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 4)
• B1(1, 0, 4)
• C1(1, 1, 4)
• D1(0, 1, 4)

Теперь найдем координаты точки E на ребре AA1. Поскольку AE : EA1 = 3 : 1, это означает, что точка E делит отрезок AA1 в отношении 3:1. Мы можем найти координаты точки E, используя интерполяцию:

Координаты точки E будут:

• x = 0
• y = 0
• z = (3/4) * 4 = 3

Таким образом, E(0, 0, 3).

Теперь нам нужно определить нормали к плоскостям ABC и BED1, чтобы найти угол между ними.

Плоскость ABC лежит в плоскости z = 0, и нормаль к этой плоскости будет направлена вдоль оси z:

• n1 = (0, 0, 1)

Теперь найдем вектор, лежащий в плоскости BED1. Для этого сначала найдем векторы BE и BD1:

• BE = E - B = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)
• BD1 = D1 - B = (0 - 1, 1 - 0, 4 - 0) = (-1, 1, 4)

Теперь найдем нормаль к плоскости BED1, используя векторное произведение векторов BE и BD1:

Векторное произведение BE и BD1 можно найти следующим образом:

• n2 = BE x BD1 = |i j k|
• |-1 0 3|
• |-1 1 4|

Вычисляем детерминант:

• n2 = i(0*4 - 3*1) - j(-1*4 - 3*(-1)) + k(-1*1 - 0*(-1))
• n2 = i(0 - 3) - j(-4 + 3) + k(-1 - 0)
• n2 = (-3, 1, -1)

Теперь у нас есть нормали к обеим плоскостям:

• n1 = (0, 0, 1)
• n2 = (-3, 1, -1)

Теперь найдем косинус угла между плоскостями ABC и BED1, используя формулу:

cos(θ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|),

где "•" обозначает скалярное произведение.

Сначала вычислим скалярное произведение n1 и n2:

• n1 • n2 = 0*(-3) + 0*1 + 1*(-1) = -1.

Теперь найдем длины векторов n1 и n2:

• |n1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
• |n2| = √((-3)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(9 + 1 + 1) = √11.

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

cos(θ) = -1 / (1 * √11) = -1 / √11.

Наконец, согласно условию задачи, нужно записать ответ, умноженный на √11:

Ответ: -1.