Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная пирамида DABC, где все ребра равны. Это означает, что основание ABC является равносторонним треугольником, а высота пирамиды проведена из вершины D к центру основания O треугольника ABC. Поскольку все ребра равны, то длина каждого ребра равна a.

1. Находим площадь основания ABC.

• Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (a^2 * √3) / 4.
• Площадь полной поверхности пирамиды равна S_пов = S_осн + S_бок, где S_бок - площадь боковых граней.
• Площадь боковых граней равна 3 * (1/2 * a * h_бок), где h_бок - высота боковой грани.

2. Находим высоту боковой грани.

• Для нахождения h_бок, воспользуемся тем, что в равностороннем треугольнике высота h_бок равна √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2/4) = (a√3)/2.

3. Теперь найдем S_бок.

• Площадь одной боковой грани: S_бок_одной = (1/2) * a * (a√3)/2 = (a^2√3)/4.
• Площадь всех трех боковых граней: S_бок = 3 * (a^2√3)/4 = (3a^2√3)/4.

4. Составим уравнение для площади полной поверхности.

• S_пов = S_осн + S_бок = (a^2√3)/4 + (3a^2√3)/4 = (4a^2√3)/4 = a^2√3.
• По условию задачи: a^2√3 = 36√3.
• Следовательно, a^2 = 36, а значит, a = 6 см.

5. Теперь находим длину линии пересечения плоскостей ABC и DMC.

• Точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной и той же точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.
• Длина медианы в равностороннем треугольнике: m = (√3/2) * a = (√3/2) * 6 = 3√3 см.
• Так как M делит медиану в отношении 2:1, то расстояние от вершины A до точки M равно (2/3) * m = (2/3) * 3√3 = 2√3 см.

6. Теперь найдем длину линии пересечения плоскостей.

• Линия пересечения плоскостей ABC и DMC будет проходить через точку M и будет перпендикулярна плоскости ABC.
• Длина этой линии равна длине отрезка AM, который мы уже нашли, т.е. 2√3 см.

Ответ: Длина линии пересечения плоскостей ABC и DMC равна 2√3 см.