В правильной треугольной пирамиде SАВС, где R - середина ребра ВС, а S - вершина, известно, что длина ребра ВС составляет 4, а отрезок SM равен 3. Какова площадь боковой поверхности данной пирамиды?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида площадь боковой поверхности длина ребра отрезок SM геометрия 11 класс Новый

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды SАВС, давайте сначала определим необходимые элементы и шаги решения.

Шаг 1: Определение длины ребер и высоты треугольника ABC

• Так как ABC - равносторонний треугольник, и известно, что длина ребра BC равна 4, то длины всех ребер AB и AC также равны 4.
• Для нахождения высоты треугольника ABC, используем формулу высоты равностороннего треугольника: h = (a * sqrt(3)) / 2, где a - длина стороны. В нашем случае a = 4.
• h = (4 * sqrt(3)) / 2 = 2 * sqrt(3).

Шаг 2: Определение координат точек

• Расположим треугольник ABC в координатной плоскости. Пусть A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(2, 2 * sqrt(3), 0).
• Середина ребра BC, точка R, будет находиться по координатам R(3, sqrt(3), 0).

Шаг 3: Определение высоты пирамиды

• Отрезок SM равен 3. Это означает, что высота пирамиды от точки S до плоскости ABC равна 3.
• Таким образом, координаты точки S будут S(2, sqrt(3), 3).

Шаг 4: Нахождение площади боковой поверхности

• Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников: SAB, SAC и SBC.
• Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти площадь каждого из треугольников.

Площадь треугольника SAB:

• Стороны треугольника SAB: SA, AB и SB.
• Длина AB = 4, длина SA = 3, длина SB можно найти по формуле: SB = sqrt((2 - 0)^2 + (sqrt(3) - 0)^2 + (3 - 0)^2) = sqrt(4 + 3 + 9) = sqrt(16) = 4.
• Теперь используем формулу Герона для нахождения площади: p = (SA + AB + SB) / 2 = (3 + 4 + 4) / 2 = 5.5.
• Площадь = sqrt(p * (p - SA) * (p - AB) * (p - SB)) = sqrt(5.5 * (5.5 - 3) * (5.5 - 4) * (5.5 - 4)) = sqrt(5.5 * 2.5 * 1.5 * 1.5).

Площадь треугольника SAC:

• Аналогично, площадь треугольника SAC также будет равна 6.

Площадь треугольника SBC:

• Площадь треугольника SBC также будет равна 6.

Шаг 5: Суммирование площадей

• Теперь суммируем площади всех трех треугольников: Площадь боковой поверхности = Площадь SAB + Площадь SAC + Площадь SBC = 6 + 6 + 6 = 18.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды SАВС составляет 18 квадратных единиц.