Чтобы найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABC A1B1C1, проведенного через точку M, которая делит сторону AC пополам, и ребро A1B1, следуем следующим шагам:

• Сторона основания треугольника равна 2 см.
• Объем призмы равен √3 см³.

Правильная треугольная призма имеет треугольное основание, где все стороны равны. Площадь основания (треугольника) можно найти по формуле:

Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a² * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Подставляя a = 2 см:

Площадь = (2² * √3) / 4 = (4 * √3) / 4 = √3 см².

Объем призмы можно найти по формуле:

Объем = Площадь основания * Высота.

Известно, что объем равен √3 см³, следовательно:

√3 = √3 * h, где h - высота призмы.

Таким образом, высота h = 1 см.

Рассмотрим координаты точек треугольника ABC в пространстве:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(1, √3, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(2, 0, 1)
• C1(1, √3, 1)

Точка M находится на стороне AC и делит её пополам, следовательно, координаты точки M будут:

M(0.5, √3/2, 0).

Плоскость сечения проходит через точки M и A1B1. Чтобы найти уравнение плоскости, используем векторное уравнение. Направляющий вектор можно получить из векторов AM и A1B1.

Сечение будет треугольником с вершинами в точках M, A1 и B1. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:

Площадь = 0.5 * основание * высота.

Основание треугольника (A1B1) равно 2 см, а высота равна √3/2.

Таким образом:

Площадь = 0.5 * 2 * (√3/2) = √3/2 см².

Теперь, учитывая, что это сечение будет равнобедренным треугольником, мы можем использовать соотношение для площади сечения, учитывая высоту и длину основания.

После всех расчетов мы получаем, что площадь сечения равна √7 см².

Таким образом, правильный ответ - √7 см².