Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная треугольная призма ABC A1B1C1, где все ребра равны между собой. Обозначим длину каждого ребра призмы как a.

Сначала найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

Основание призмы – это правильный треугольник ABC. Периметр правильного треугольника можно найти следующим образом:

• Периметр = 3 * a

Высота призмы равна длине ребра, то есть h = a.

Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:

Теперь нам необходимо найти длину ребра a. Мы знаем, что радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью A1FC, равен 5√3 см.

Сечение A1FC представляет собой треугольник, где A1 и C – это вершины верхнего основания призмы, а F – точка, находящаяся на продолжении ребра AB. Так как B является серединой отрезка AF, то можно сказать, что:

• AF = 2 * AB = 2 * a
• BF = AB = a

Теперь рассмотрим треугольник A1FC. У него есть следующие стороны:

• A1C = a (это ребро призмы)
• A1F = √(A1B² + BF²) = √(a² + a²) = a√2 (поскольку BF = a)
• FC = AC = a (так как AC – это сторона основания)

Теперь мы можем использовать радиус описанной окружности для треугольника A1FC. Формула для радиуса R описанной окружности треугольника со сторонами a, b, c:

где S – площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или через координаты. Однако, в нашем случае, мы можем использовать известный радиус:

• R = 5√3

Теперь, используя радиус, мы можем найти a. У нас есть стороны:

• a = A1C = a
• b = A1F = a√2
• c = FC = a

Подставляем в формулу радиуса:

Площадь S можно найти, используя формулу для площади треугольника через стороны:

где p – полупериметр:

Подставляя значения и решая уравнение, мы можем найти a.

После нахождения a, мы можем подставить его в формулу для площади боковой поверхности:

Таким образом, после всех вычислений, мы найдем площадь боковой поверхности призмы.