В прямоугольнике ABCD известны длины сторон: BC = 1 см и CD = √3 см. Через вершину A проведён перпендикуляр MA к плоскости прямоугольника. Какой угол образует прямая MC с плоскостью треугольника, если MA = 2 см?

Геометрия 11 класс Прямоугольники и углы в пространстве прямоугольник ABCD длины сторон угол mc плоскость треугольника перпендикуляр MA геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа геометрической ситуации. У нас есть прямоугольник ABCD, где BC = 1 см и CD = √3 см. Это значит, что стороны AB и AD равны соответственно 1 см и √3 см, так как в прямоугольнике противолежащие стороны равны.

Сначала найдем координаты вершин прямоугольника ABCD. Мы можем расположить его в координатной плоскости следующим образом:

• A(0, 0)
• B(1, 0)
• C(1, √3)
• D(0, √3)

Теперь, когда мы определили координаты вершин, добавим точку M, которая является перпендикуляром к плоскости прямоугольника из точки A. Так как MA = 2 см, то координаты точки M будут:

• M(0, 0, 2)

Теперь нам нужно найти угол между прямой MC и плоскостью треугольника. Сначала найдем координаты точки C, которая у нас уже есть: C(1, √3, 0).

Теперь найдем вектор MC:

• MC = C - M = (1 - 0, √3 - 0, 0 - 2) = (1, √3, -2).

Теперь давайте найдем нормальный вектор плоскости треугольника AMC. Треугольник AMC состоит из трех точек: A(0, 0, 0), M(0, 0, 2) и C(1, √3, 0).

Сначала найдем два вектора в плоскости AMC:

• AM = M - A = (0 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (0, 0, 2),
• AC = C - A = (1 - 0, √3 - 0, 0 - 0) = (1, √3, 0).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости AMC, используя векторное произведение векторов AM и AC:

• n = AM × AC = |i j k|
• |0 0 2|
• |1 √3 0|

Вычисляя детерминант, получаем:

• n = (0 * 0 - 2 * √3)i - (0 * 0 - 2 * 1)j + (0 * √3 - 0 * 0)k = (-2√3, -2, 0).

Теперь у нас есть вектор MC = (1, √3, -2) и нормальный вектор n = (-2√3, -2, 0).

Чтобы найти угол между вектором MC и нормальным вектором n, используем формулу для косинуса угла:

cos(θ) = (MC • n) / (|MC| * |n|),

где • - скалярное произведение, а |MC| и |n| - длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

• MC • n = (1 * -2√3) + (√3 * -2) + (-2 * 0) = -2√3 - 2√3 = -4√3.

Теперь найдем длины векторов:

• |MC| = √(1^2 + (√3)^2 + (-2)^2) = √(1 + 3 + 4) = √8 = 2√2,
• |n| = √((-2√3)^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(12 + 4) = √16 = 4.

Теперь подставим все в формулу:

• cos(θ) = (-4√3) / (2√2 * 4) = -√3 / (2√2).

Теперь, чтобы найти угол между MC и плоскостью треугольника AMC, нам нужно использовать свойство углов. Угол между вектором и плоскостью равен 90° - θ.

Итак, угол между прямой MC и плоскостью треугольника AMC:

• Угол = 90° - arccos(-√3 / (2√2)).

Таким образом, мы нашли угол между прямой MC и плоскостью треугольника AMC.