Чтобы найти радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника, нам нужно использовать некоторые свойства медиан и формулы для радиуса вписанной окружности.

Давайте начнем с того, что в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, мы можем обозначить длины катетов как a и b, а гипотенузу как c. Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:

r = (a + b - c) / 2

Однако, в данной задаче у нас есть расстояния от точки пересечения медиан (центра масс) до катетов и гипотенузы. Давайте обозначим:

• d1 = расстояние до катета = 5
• d2 = расстояние до гипотенузы = 4

Радиус вписанной окружности r и расстояния d1 и d2 связаны между собой. В прямоугольном треугольнике расстояние от центра масс до катета равно r, а расстояние от центра масс до гипотенузы может быть выражено через радиус и высоту:

h = (a * b) / c

В данном случае, расстояние от центра масс до гипотенузы может быть найдено через r и высоту h:

d2 = h - r

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. d1 = r = 5
2. d2 = h - r = 4

Подставим значение r в второе уравнение:

4 = h - 5

Решим его:

h = 4 + 5 = 9

Теперь мы знаем, что высота h равна 9. Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности r, мы можем воспользоваться первым уравнением:

r = 5

Таким образом, радиус вписанной окружности данного прямоугольного треугольника равен 5.