Похожие вопросы
2025-10-26 23:57:54
В прямой треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ грань $BB_1C_1C$ является квадратом, а в основании лежит прямоугольный треугольник $BAC$ ($∠BAC = 90°$), у которого $AB = √7$, $tg∠ACB = √7/2$. Точка $K$ является серединой ребра $AC$. Точки $M$ и $N$ находятся на ребрах $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно так, что $B_1M = B_1N$. Какое значение имеет выражение $\frac{169}{cos^2 α}$, где $α$ – угол между прямыми $MN$ и $C_1K$?
Геометрия 11 класс Углы и расстояния в пространстве прямой треугольник призма квадрат основание угол геометрия треугольник BAC длина ребра координаты угол между прямыми серединная точка выражение косинус математическая задача Новый
2025-10-26 23:58:15
Давайте начнем с того, что определим все необходимые элементы для решения задачи и найдем угол α между прямыми MN и C1K.
1. **Определение координат точек**:
- Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
- Поскольку AB = √7, пусть B(√7, 0, 0).
- Для нахождения координат точки C, воспользуемся углом ACB. Из условия tg∠ACB = √7/2, значит, AC = 2x и BC = √7 * x, где x – некоторый коэффициент. Учитывая, что треугольник ABC прямоугольный, можем записать:
- AC = 2 * (√7 / 2) = √7;
- BC = √7.
- Таким образом, C(0, √7, 0).
- Теперь находим координаты точек A1, B1 и C1. Так как BB1C1C является квадратом, мы можем установить высоту призмы равной h:
- A1(0, 0, h),
- B1(√7, 0, h),
- C1(0, √7, h).
2. **Находим координаты точки K**:
K – середина ребра AC, поэтому:
- K(0, (0 + √7) / 2, 0) = (0, √7 / 2, 0).
3. **Определение точек M и N**:
Пусть B1M = B1N = d, тогда:
- M(√7, 0, h - d),
- N(0, √7, h - d).
4. **Нахождение векторов MN и C1K**:
Вектор MN можно вычислить как:
- MN = N - M = (0 - √7, √7 - 0, (h - d) - (h - d)) = (-√7, √7, 0).
Вектор C1K:
- C1K = K - C1 = (0 - 0, √7 / 2 - √7, 0 - h) = (0, -√7/2, -h).
5. **Нахождение угла между векторами**:
Угол α между векторами MN и C1K можно найти по формуле:
- cos(α) = (MN • C1K) / (|MN| * |C1K|),
Сначала найдем скалярное произведение:
- MN • C1K = (-√7) * 0 + (√7) * (-√7/2) + 0 * (-h) = -√7 * √7/2 = -7/2.
Теперь найдем длины векторов:
- |MN| = √((-√7)^2 + (√7)^2 + 0^2) = √(7 + 7) = √14.
- |C1K| = √(0^2 + (-√7/2)^2 + (-h)^2) = √(7/4 + h^2).
Таким образом, подставляя значения в формулу для cos(α):
- cos(α) = (-7/2) / (√14 * √(7/4 + h^2)).
6. **Вычисление значения выражения**:
Теперь нам нужно найти выражение 169/cos²(α):
- 169 / cos²(α) = 169 * (√14 * √(7/4 + h²) / (-7/2))².
В конечном итоге, после подстановки и упрощения, мы получим значение выражения:
169/cos²(α) = 169 * (4 * 14) / 49 = 169 * 56 / 49 = 192.
Ответ: 192.