Чтобы найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, где известен синус угла при основании, следуем следующим шагам:

1. Обозначим углы треугольника: Пусть угол при основании треугольника обозначим как α. Тогда угол при вершине будет равен 180° - 2α, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. Используем тригонометрическую формулу: Для нахождения синуса угла при вершине (180° - 2α) мы используем формулу: sin(180° - x) = sin(x). Таким образом, sin(180° - 2α) = sin(2α).
3. Вычисляем sin(2α): Используем формулу удвоенного угла для синуса: sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α).
4. Находим cos(α): Известно, что sin²(α) + cos²(α) = 1. Подставляем значение sin(α) = 8/17:
   • sin²(α) = (8/17)² = 64/289.
   • cos²(α) = 1 - sin²(α) = 1 - 64/289 = 225/289.
   • Следовательно, cos(α) = √(225/289) = 15/17.
5. Теперь подставим значения в формулу для sin(2α):
   • sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α) = 2 * (8/17) * (15/17).
   • sin(2α) = (2 * 8 * 15) / (17 * 17) = 240 / 289.

Таким образом, синус угла при вершине равнобедренного треугольника равен 240/289.