В равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 16, если угол между боковой стороной и основанием равен 45°, как можно вычислить площадь этой трапеции?

Геометрия 11 класс Площадь трапеции равнобедренная трапеция площадь трапеции угол 45 градусов основания 12 и 16 вычисление площади Новый

Чтобы вычислить площадь равнобедренной трапеции, нам нужно знать её основания и высоту. В данной задаче у нас есть основания 12 и 16, а также угол между боковой стороной и основанием, равный 45°. Давайте разберёмся, как найти высоту и затем вычислить площадь.

1. Обозначим элементы трапеции:

• Обозначим основания трапеции как a = 12 (меньшее основание) и b = 16 (большее основание).
• Обозначим боковые стороны как c.
• Пусть h — высота трапеции.

2. Найдём высоту h:

Поскольку угол между боковой стороной и основанием равен 45°, мы можем использовать тригонометрию. В равнобедренной трапеции, если провести перпендикуляр от вершины боковой стороны к основанию, то мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Одна из сторон (высота h) противолежит углу в 45°.
• Гипотенуза — это боковая сторона c.

Так как угол равен 45°, то высота h равна длине проекции боковой стороны на основание:

• h = c * sin(45°) = c * (1/√2).
• Также, в прямоугольном треугольнике, основание будет равно c * cos(45°) = c * (1/√2).

3. Определим длину боковой стороны c:

Теперь нам нужно найти длину боковой стороны c. Для этого определим основание, на которое проецируется боковая сторона:

• Разница между основаниями: b - a = 16 - 12 = 4.
• Эта разница делится на 2, так как трапеция равнобедренная, и каждая боковая сторона будет проецироваться на половину этой разницы: 4 / 2 = 2.

Таким образом, основание нашего прямоугольного треугольника будет равно 2. Теперь можем использовать теорему Пифагора:

• c^2 = h^2 + 2^2.
• h = c * (1/√2), подставляем это в уравнение:
• c^2 = (c * (1/√2))^2 + 2^2.

4. Решим уравнение:

• c^2 = (c^2 / 2) + 4.
• Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби: 2c^2 = c^2 + 8.
• c^2 = 8, следовательно, c = √8 = 2√2.

5. Теперь найдём высоту h:

• h = c * (1/√2) = 2√2 * (1/√2) = 2.

6. Теперь можем вычислить площадь S трапеции:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = (a + b) * h / 2.

• S = (12 + 16) * 2 / 2 = 28.

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции равна 28.