В равностороннем треугольнике ABC длина каждой стороны составляет 4 см. Какова длина вектора суммы:

1. | АВ + ВС |;
2. | АВ - АС |;
3. | ВС + СА + АВ |;
4. | АВ + АС |.

Геометрия 11 класс Векторы в геометрии равносторонний треугольник длина стороны вектор суммы геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Давайте рассмотрим каждый из векторов и найдем их длины по порядку.

1. Вектор суммы | AB + BC |:

• В равностороннем треугольнике ABC длина каждой стороны равна 4 см.
• Вектор AB имеет длину 4 см, а вектор BC также имеет длину 4 см.
• Чтобы найти длину вектора суммы, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма.
• Так как треугольник равносторонний, угол между векторами AB и BC составляет 60 градусов.
• Длина суммы двух векторов определяется по формуле: | AB + BC | = √( |AB|² + |BC|² + 2 * |AB| * |BC| * cos(угол) ).
• Подставляем значения: |AB| = 4, |BC| = 4, угол = 60 градусов (cos(60) = 0.5).
• Тогда | AB + BC | = √(4² + 4² + 2 * 4 * 4 * 0.5) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3 см.

2. Вектор разности | AB - AC |:

• Векторы AB и AC имеют одинаковую длину, равную 4 см.
• Угол между ними также составляет 60 градусов.
• Длина вектора разности определяется по формуле: | AB - AC | = √( |AB|² + |AC|² - 2 * |AB| * |AC| * cos(угол) ).
• Подставляем значения: |AB| = 4, |AC| = 4, угол = 60 градусов.
• Тогда | AB - AC | = √(4² + 4² - 2 * 4 * 4 * 0.5) = √(16 + 16 - 16) = √16 = 4 см.

3. Вектор суммы | BC + CA + AB |:

• Сначала найдем длину вектора суммы двух векторов, а затем прибавим третий вектор.
• Как мы уже вычислили, | BC + CA | = | AB + BC | = 4√3 см.
• Теперь добавим вектор AB: | BC + CA + AB | = | AB + (BC + CA) |.
• Угол между вектором AB и суммой (BC + CA) составляет 60 градусов.
• Таким образом, | BC + CA + AB | = √( |AB|² + |BC + CA|² + 2 * |AB| * |BC + CA| * cos(угол) ).
• Подставляем: |BC + CA| = 4√3, угол = 60 градусов.
• Тогда | BC + CA + AB | = √(4² + (4√3)² + 2 * 4 * 4√3 * 0.5) = √(16 + 48 + 16√3) см.

4. Вектор суммы | AB + AC |:

• Векторы AB и AC имеют длину 4 см каждый, и угол между ними составляет 60 градусов.
• По аналогии с предыдущими расчетами: | AB + AC | = √( |AB|² + |AC|² + 2 * |AB| * |AC| * cos(угол) ).
• Подставляем значения: |AB| = 4, |AC| = 4, угол = 60 градусов.
• Тогда | AB + AC | = √(4² + 4² + 2 * 4 * 4 * 0.5) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3 см.

Итак, подводя итог:

• | AB + BC | = 4√3 см
• | AB - AC | = 4 см
• | BC + CA + AB | = √(16 + 48 + 16√3) см
• | AB + AC | = 4√3 см