2025-01-15 00:14:51
В треугольнике ABC, где угол C составляет 90 градусов, CH является высотой, а BH равно 12. Если sin A равен 2/3, каким образом можно определить длину отрезка AB?
Геометрия 11 класс Треугольники и тригонометрические функции геометрия 11 класс треугольник ABC угол C 90 градусов высота CH длина отрезка AB sin A 2/3 задача по геометрии
2025-01-15 00:15:12
Чтобы найти длину отрезка AB в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, а BH равно 12 и sin A равно 2/3, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определим стороны треугольника с использованием синуса угла A.Синус угла A определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае:
- Противолежащая сторона для угла A - это сторона BC.
- Гипотенуза - это сторона AB.
Записываем это в виде формулы:
sin A = BC / AB
Подставляем значение sin A:
2/3 = BC / AB
Отсюда получаем:
BC = (2/3) * AB
Шаг 2: Найдем длину стороны AC.Сторона AC является прилежащей стороной к углу A. Мы можем использовать теорему Пифагора для определения длины AC:
AB² = AC² + BC²
Подставим BC из предыдущего шага:
AB² = AC² + ((2/3) * AB)²
Теперь упростим это уравнение:
AB² = AC² + (4/9) * AB²
Переносим (4/9) * AB² в левую часть:
(1 - 4/9) * AB² = AC²
(5/9) * AB² = AC²
Шаг 3: Найдем длину стороны AC через BH.Сторона BH является высотой, опущенной из вершины B на сторону AC. В данном случае высота CH равна BH. Мы знаем, что:
BH = (AC * BC) / AB
Подставим значения:
12 = (AC * (2/3) * AB) / AB
Сократим AB:
12 = (2/3) * AC
Теперь выразим AC:
AC = 12 * (3/2) = 18
Шаг 4: Подставим значение AC в уравнение для AB.Теперь у нас есть значение AC, и мы можем подставить его обратно в уравнение:
(5/9) * AB² = 18²
(5/9) * AB² = 324
Умножим обе стороны на 9/5:
AB² = 324 * (9/5)
AB² = 583.2
Теперь найдем AB:
AB = √(583.2) ≈ 24.16
Ответ:Длина отрезка AB приблизительно равна 24.16.