В треугольнике АВС медианы AD и BE пересекаются в точке O. Как можно выразить векторы AB, BC и CA через векторы OC = p и OE = q?

Геометрия 11 класс Векторы в треугольнике векторы треугольника медианы треугольника пересечение медиан векторы AB BC CA векторы OC OE геометрия 11 класс Новый

Для того чтобы выразить векторы AB, BC и CA через векторы OC и OE, давайте сначала вспомним, что точка O является центроидом треугольника ABC, и она делит каждую из медиан в отношении 2:1. Это значит, что:

• AO = 2/3 * AD
• BO = 2/3 * BE

Теперь мы можем использовать векторы, чтобы выразить стороны треугольника через векторы OC и OE.

1. Вектор OC обозначим как p, а вектор OE обозначим как q.
2. Вектор OA можно выразить через вектор OC. Так как O делит AD в отношении 2:1, то:
• OA = OC + (1/2) * AD = p + (1/2) * AD
3. Теперь выразим вектор AB:
• AB = B - A = (O + OB) - (O + OA) = OB - OA.
4. Вектор OB можно выразить через OE и OA:
• OB = OE + (1/2) * BE = q + (1/2) * BE.
5. Теперь подставим значение OB в выражение для AB:
• AB = (q + (1/2) * BE) - (p + (1/2) * AD).
6. Аналогично можно выразить вектор BC:
• BC = C - B = (O + OC) - (O + OB) = OC - OB = p - (q + (1/2) * BE).
7. И, наконец, вектор CA:
• CA = A - C = (O + OA) - (O + OC) = OA - OC = (p + (1/2) * AD) - p.

Таким образом, мы выразили векторы AB, BC и CA через векторы OC и OE, используя свойства медиан в треугольнике. Это позволяет нам увидеть взаимосвязь между сторонами треугольника и векторами, которые его описывают.