2025-10-28 10:43:40
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC — и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, угол AEB равен 48 градусам, и угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 3 : 7.
Какой угол AFD? Ответ выразите в градусах.
Геометрия 11 класс Вписанные углы и свойства вписанных фигур вписанный четырёхугольник угол AEB угол AFD пересечение лучей геометрия 11 класс соотношение углов дуги BC и AD CD и DE решение задачи углы в четырёхугольнике Новый
2025-10-28 10:44:04
Для решения данной задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть:
- Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
- Точка E — пересечение лучей AD и BC.
- Точка F — пересечение лучей AB и DC.
- CD = DE.
- Угол AEB равен 48 градусам.
- Угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 3 : 7.
Теперь давайте обозначим углы, которые нам понадобятся:
- Угол AEB = 48° (дано).
- Обозначим угол AEC = x.
- Обозначим угол BEC = y.
Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то сумма углов AEB и AEC равна углу BEC и BAE:
Угол AEB + угол AEC = угол BEC + угол BAE.
Таким образом, x + 48° = y + угол BAE.
Теперь учтем, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Дуги BC и AD, согласно условию, находятся в соотношении 3:7. Обозначим углы, опирающиеся на эти дуги:
- Угол AEC (опирается на дугу AD) равен 7k.
- Угол BEC (опирается на дугу BC) равен 3k.
Теперь мы можем выразить углы AEC и BEC через k:
- x = 7k,
- y = 3k.
Подставляем выражения для x и y в равенство:
7k + 48° = 3k + угол BAE.
Теперь давайте найдем угол BAE. Угол BAE равен углу AFD, так как они опираются на одну и ту же дугу AD:
Угол AFD = угол BAE.
Мы знаем, что сумма всех углов в четырехугольнике равна 360°. Используя это, мы можем выразить угол BAE через угол AFD:
360° = угол AEB + угол AEC + угол BEC + угол BAE.
360° = 48° + 7k + 3k + угол AFD.
Теперь подставим угол AFD в это уравнение:
360° = 48° + 10k + угол AFD.
Теперь мы можем выразить угол AFD:
угол AFD = 360° - 48° - 10k.
Теперь нам нужно найти значение k. Из соотношения 3:7 между дугами BC и AD мы можем выразить k:
3k + 7k = 180°, так как сумма углов равна 180°.
10k = 180°.
Таким образом, k = 18°.
Теперь подставим значение k в выражение для угла AFD:
угол AFD = 360° - 48° - 10 * 18°.
угол AFD = 360° - 48° - 180°.
угол AFD = 132°.
Таким образом, угол AFD равен 132 градусам.