Как можно обосновать, что отрезок MN равен сумме отрезков BM и NC, если прямая, проведенная через точку пересечения биссектрис углов B и C треугольника ABC, параллельна стороне BC и пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно?

Геометрия 5 класс Биссектрисы углов треугольника отрезок MN сумма отрезков BM и NC биссектрисы треугольника прямая параллельная стороне точки M и N треугольник ABC геометрические доказательства Новый

Чтобы обосновать, что отрезок MN равен сумме отрезков BM и NC, мы воспользуемся свойствами параллельных линий и подобия треугольников. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Параллельные линии: У нас есть прямая, проходящая через точки M и N, которая параллельна стороне BC треугольника ABC. Это значит, что угол ABM равен углу ABC, а угол ACN равен углу ACB по свойству наклонных углов.
2. Подобие треугольников: Из-за параллельности прямой MN стороне BC, треугольники ABM и ABC, а также треугольники ACN и ABC являются подобными. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны.
3. Запишем пропорции:
   • Для треугольника ABM и ABC: BM/AB = AM/AC.
   • Для треугольника ACN и ABC: CN/AC = AN/AB.
4. Суммируем отрезки: Так как отрезок AB можно представить как сумму отрезков AM и MB, а отрезок AC как сумму AN и NC, то мы можем записать:
• AB = AM + MB
• AC = AN + NC
5. Применяем свойства подобия: Из пропорций, которые мы записали выше, мы можем выразить BM и CN через AM и AN:
• BM = k * AB, где k - коэффициент пропорциональности.
• CN = m * AC, где m - другой коэффициент пропорциональности.
6. Вывод: Из всего вышесказанного мы можем заключить, что отрезок MN, который является частью отрезков BM и CN, равен их сумме, то есть:
• MN = BM + NC.

Таким образом, мы обосновали, что отрезок MN равен сумме отрезков BM и NC, используя свойства параллельных линий и подобия треугольников.