Заданы два вектора в пространстве. Нужно найти:

1. их сумму;
2. их разность;
3. косинус угла между ними;
4. их векторное произведение.

Векторы: a=(0;1;1), b=(−2;0;1).

Геометрия 6 класс Векторы в пространстве векторы сумма векторов разность векторов косинус угла векторное произведение геометрия 6 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть два вектора: a = (0; 1; 1) и b = (−2; 0; 1). Мы найдем их сумму, разность, косинус угла между ними и векторное произведение.

1. Сумма векторов:

Чтобы найти сумму векторов, мы складываем соответствующие компоненты:

• Сумма по первой компоненте: 0 + (−2) = −2
• Сумма по второй компоненте: 1 + 0 = 1
• Сумма по третьей компоненте: 1 + 1 = 2

Таким образом, сумма векторов a и b равна:

a + b = (−2; 1; 2)

2. Разность векторов:

Чтобы найти разность векторов, мы вычитаем соответствующие компоненты:

• Разность по первой компоненте: 0 − (−2) = 0 + 2 = 2
• Разность по второй компоненте: 1 − 0 = 1
• Разность по третьей компоненте: 1 − 1 = 0

Таким образом, разность векторов a и b равна:

a - b = (2; 1; 0)

3. Косинус угла между векторами:

Для нахождения косинуса угла между векторами, используем формулу:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где a · b - скалярное произведение векторов, а |a| и |b| - их длины.

Скалярное произведение:

Скалярное произведение векторов a и b рассчитывается следующим образом:

• a · b = (0 * (−2)) + (1 * 0) + (1 * 1) = 0 + 0 + 1 = 1

Длина векторов:

Теперь найдем длины векторов a и b:

• |a| = √(0² + 1² + 1²) = √(0 + 1 + 1) = √2
• |b| = √((−2)² + 0² + 1²) = √(4 + 0 + 1) = √5

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 1 / (√2 * √5) = 1 / √10.

4. Векторное произведение:

Векторное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:

a × b = (a2*b3 - a3*b2; a3*b1 - a1*b3; a1*b2 - a2*b1),

где a1, a2, a3 - компоненты вектора a, а b1, b2, b3 - компоненты вектора b.

• Первая компонента: 1*1 - 1*0 = 1 - 0 = 1
• Вторая компонента: 1*−2 - 0*1 = −2 - 0 = −2
• Третья компонента: 0*0 - 1*(−2) = 0 + 2 = 2

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно:

a × b = (1; −2; 2)

Итак, подводя итог:

• Сумма векторов: a + b = (−2; 1; 2)
• Разность векторов: a - b = (2; 1; 0)
• Косинус угла между векторами: cos(θ) = 1 / √10
• Векторное произведение: a × b = (1; −2; 2)