Определение. Отрезок с концами A и B — это часть прямой, состоящая из точек A и B и всех точек, лежащих между ними. Множество точек на отрезке AB — это как раз все эти точки.

Что это значит простыми словами. Если провести прямую через точки A и B, то отрезок AB — это «кусочек» этой прямой, ограниченный точками A и B. Включая сами концы: точки A и B принадлежат отрезку.

Свойства множества точек на отрезке.

• Таких точек бесконечно много — между любыми двумя точками отрезка всегда есть другие точки.
• Любые две точки отрезка определяют подотрезок, полностью лежащий внутри исходного отрезка (свойство выпуклости).
• Если точка X лежит на отрезке AB, то она коллинеарна с A и B, и расстояние AX плюс расстояние XB равно длине AB.

Как проверить, принадлежит ли точка X отрезку AB — пошагово.

1. Проверьте коллинеарность: все три точки A, B и X должны лежать на одной прямой. На чертеже это видно визуально; в координатах проверяется уравнением прямой или отношением векторов.
2. Измерьте (или вычислите) расстояния AX, XB и AB. Если AX + XB = AB, то точка X лежит между A и B и значит принадлежит отрезку. Если сумма больше или меньше, то не принадлежит.

Пример на числовой прямой. Пусть A = 1, B = 4. Тогда отрезок AB — это все точки с координатами от 1 до 4 включительно. Точка X = 3 принадлежит отрезку, потому что 3 находится между 1 и 4 (AX = 2, XB = 1, AX + XB = 3 = AB). Точка Y = 5 не принадлежит, так как она за пределами [1,4].

Итог. Множество точек на отрезке — это все точки, лежащие между его концами, включая эти концы; для проверки принадлежности нужно убедиться в коллинеарности и в том, что сумма расстояний до концов равна длине отрезка.