Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB || CD и стороны AD и BC равны. Мы будем доказывать два утверждения: равенство углов при каждом основании и равенство диагоналей.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством параллельных прямых и углов, образуемых секущей.

1. Поскольку AB || CD, то углы A и D являются соответственными углами, а углы B и C также являются соответственными углами.
2. Согласно свойству соответственных углов, если две прямые параллельны, то соответственные углы равны. Это означает, что угол A равен углу B, и угол D равен углу C.
3. Таким образом, мы имеем: угол A = угол B и угол D = угол C.

Следовательно, углы при каждом основании равны.

Теперь докажем, что диагонали AC и BD равны.

1. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У нас есть следующие данные:
• Стороны AD и BC равны (по определению равнобедренной трапеции).
• Углы A и B равны (как мы доказали ранее).
• Сторона AB является общей для обоих треугольников.
2. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) мы можем утверждать, что треугольники ABD и CDB равны.
3. Если треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Это означает, что AC = BD.

Таким образом, мы доказали, что диагонали равны.

В заключение, мы показали, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и диагонали равны. Эти свойства являются важными характеристиками равнобедренной трапеции.