Для доказательства того, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны, воспользуемся свойствами равных треугольников и некоторыми основными геометрическими понятиями.

Обозначим два равных треугольника ABC и A'B'C', где AB = A'B', AC = A'C' и BC = B'C'. Пусть биссектрисы, проведенные к сторонам AB и A'B', обозначим как BD и B'D', соответственно. Мы должны доказать, что BD = B'D'.

1. Свойства равных треугольников: Поскольку треугольники ABC и A'B'C' равны, то у них равны все стороны и углы. Это означает, что угол A равен углу A', угол B равен углу B', и угол C равен углу C'.
2. Свойство биссектрисы: Биссектрисы треугольника делят угол пополам. То есть, угол ABD равен углу DBC, а угол A'B'D' равен углу D'B'C'.
3. Используем теорему о биссектрисе: В любом треугольнике биссектрисы делят противолежащую сторону в отношении сторон, образующих угол. В треугольнике ABC биссектрисы BD и AC делят отрезок AC на части, пропорциональные сторонам AB и BC. То есть:
   • AD / DC = AB / BC
4. Аналогично для треугольника A'B'C': Биссектрисы B'D' и A'C' делят отрезок A'C' на части, пропорциональные сторонам A'B' и B'C'. То есть:
   • A'D' / D'C' = A'B' / B'C'
5. Сравнение пропорций: Поскольку треугольники равны, то AB = A'B' и BC = B'C'. Это означает, что пропорции, которые мы получили, также равны:
   • AD / DC = A'D' / D'C'
6. Заключение: Поскольку углы ABD и A'B'D' равны, и отрезки AD / DC и A'D' / D'C' равны, мы можем заключить, что биссектрисы BD и B'D' равны по длине:
   • BD = B'D'

Таким образом, мы доказали, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.