Чтобы найти расстояние между отрезком АВ₁ и отрезком DC в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, давайте сначала определим координаты всех вершин куба.

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A₁(0, 0, a)
• B₁(a, 0, a)
• C₁(a, a, a)
• D₁(0, a, a)

Теперь определим координаты отрезков:

• Отрезок АВ₁ соединяет точки A(0, 0, 0) и B₁(a, 0, a).
• Отрезок DC соединяет точки D(0, a, 0) и C(a, a, 0).

Теперь мы можем выразить эти отрезки в параметрической форме:

• Для отрезка АВ₁:
  • Точка P(t) = (0 + t(a - 0), 0 + t(0 - 0), 0 + t(a - 0)) = (at, 0, at), где 0 ≤ t ≤ 1.
• Для отрезка DC:
  • Точка Q(s) = (0 + s(a - 0), a + s(0 - a), 0 + s(0 - 0)) = (as, a, 0), где 0 ≤ s ≤ 1.

Теперь, чтобы найти расстояние между этими двумя отрезками, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя линиями в пространстве. Мы ищем минимальное расстояние между точками P(t) и Q(s). Расстояние можно выразить как:

D(t, s) = √[(at - as)² + (0 - a)² + (at - 0)²].

Для упрощения, минимизируем выражение D(t, s). Мы можем это сделать, найдя частные производные по t и s и приравняв их к нулю. Однако, в данном случае, проще будет заметить, что отрезки параллельны и расстояние между ними постоянное.

Расстояние между параллельными отрезками в данной конфигурации равно расстоянию между их плоскостями. Мы видим, что отрезок АВ₁ находится на высоте a, а отрезок DC находится на высоте 0. Таким образом, расстояние между ними равно: