Для решения этой задачи нам необходимо понять, как можно организовать дороги между городами так, чтобы при любом разделении на две равные части (по 400 городов) каждую из частей можно было бы обеспечить равным количеством дорог.

Мы можем рассмотреть города как вершины графа, а дороги как рёбра. В данной задаче у нас есть 800 вершин (городов) и 3000 рёбер (дорог). Нам нужно убедиться, что при любом делении 800 городов на две группы по 400 городов, количество рёбер, соединяющих эти две группы, было одинаковым.

Чтобы понять, возможно ли это, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Определение рёбер: Мы можем представить, что каждая дорога соединяет два города. Если мы построим 3000 дорог, это значит, что у нас есть 3000 рёбер в графе.
2. Общее количество дорог: Если у нас 800 городов, то максимальное количество рёбер в полном графе (где каждый город соединён с каждым) составляет C(800, 2) = 800 * 799 / 2 = 319600 рёбер. Таким образом, 3000 рёбер - это относительно небольшое количество по сравнению с полным графом.
3. Равномерное распределение: Чтобы гарантировать, что при любом разделении на две равные части количество дорог между ними было одинаковым, необходимо, чтобы количество рёбер, соединяющих любые две группы по 400 городов, было одинаковым. Это возможно, если каждая дорога соединяет один город из одной группы и один город из другой группы.
4. Проверка возможности: Однако, если мы имеем 3000 рёбер и делим 800 городов на две группы по 400, то при любом разделении, некоторые города будут соединены с другими, и количество рёбер между двумя группами может варьироваться. Это означает, что мы не можем гарантировать равное количество рёбер при любом разделении.

Таким образом, ответ на вопрос, сможет ли король построить 3000 дорог так, чтобы при любом возможном разделе наследникам досталось поровну дорог, - нет. Это невозможно, так как количество рёбер между двумя частями будет зависеть от конкретного разделения городов.