Задача 1.

Треугольник $АВС$ равнобедренный с основанием $АС$, $AD$ — высота треугольника. $BD = 16$ см, $DC = 4$ см. Найдите основание $АС$ и высоту $AD$.

Решение:

• $АВ = ВС$ (по свойству равнобедренного треугольника).

• Треугольник $ABD$ прямоугольный, так как $AD$ перпендикулярна $BC$ ($AD$ — высота).

• По теореме Пифагора:

  • $AB^2 = BD^2 + AD^2$;
  • $(AB)^2 = (16)^2 + (AD)^2$;
  • $400 = 256 + (AD)^2$, откуда
  • $(AD)^2 = 400 - 256 = 144$, следовательно,
  • $AD = \sqrt{144} = 12$ см.

• Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = AD + DC = 12 + 4 = 16$ см.

Ответ: $AD = 12$ см, $AC = 16$ см.

Задача 2.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её меньшее основание равно 7 см, боковая сторона — 10 см, высота — 8 см.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

• Площадь трапеции $S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h$, где
  • $a$ и $b$ — основания трапеции;
  • $h$ — высота трапеции.

В нашем случае:

• меньшее основание $a = 7$ см;
• боковая сторона $c = 10$ см (так как трапеция равнобедренная);
• высота $h = 8$ см.

Найдём большее основание трапеции:

• Опустим высоту из вершины $B$ на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — боковая сторона трапеции, а катеты — часть большего основания и высота.

По теореме Пифагора найдём длину большего основания:

• $(c)^2 = a^2 + h^2$
• $(10)^2 = x^2 + (8)^2$
• $x^2 = 100 - 64 = 36$, следовательно,
• $x = \sqrt{36} = 6$ см — длина большего основания.

Теперь можем найти площадь трапеции:

• $S = \frac{7 + 6}{2} \cdot 8 = \frac{13}{2} \cdot 8 = 52$ кв.см.

Ответ: площадь трапеции равна 52 кв.см.

Задача 3.

Одна из сторон прямоугольника равна 12 см, а диагональ — 15 см. Найдите периметр прямоугольника.

Решение:

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть одна из сторон прямоугольника будет $a$, а другая — $b$. Тогда:

• диагональ прямоугольника $d = \sqrt{(a)^2 + (b)^2}$;
• периметр прямоугольника $P = 2(a + b)$.

Подставим известные значения:

• $15 = \sqrt{(12)^2 + (b)^2}$, откуда
• $(b)^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$, следовательно,
• $b = \sqrt{81} = 9$ см.

Тогда периметр прямоугольника равен:

• $P = 2 \cdot (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42$ см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 42 см.