1. Существует ли четырехугольник, который не является прямоугольником, но у которого диагонали равны?

Да, существует. Четырехугольник, у которого диагонали равны, не обязательно является прямоугольником. Например, это может быть ромб, у которого все стороны равны, но углы не прямые. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на два равных треугольника, однако углы ромба могут быть острыми или тупыми, что делает его не прямоугольником.

2. Является ли верным утверждение, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то этот четырехугольник обязательно является прямоугольником?

Да, это утверждение верно. Если в четырехугольнике один угол прямой (90 градусов) и диагонали равны, то это действительно означает, что четырехугольник является прямоугольником. Дело в том, что наличие одного прямого угла и равенство диагоналей подразумевает, что остальные углы также будут прямыми, так как сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Таким образом, все углы будут прямыми, и мы получим прямоугольник.

3. В прямоугольнике острый угол между диагоналями составляет 50°. Каковы углы, которые образуют диагонали со сторонами этого прямоугольника?

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делят его на два равных треугольника. Давайте обозначим углы, которые образуют диагонали с сторонами прямоугольника:

• Обозначим угол между одной из диагоналей и одной из сторон как α.
• Тогда угол между диагональю и другой стороной будет равен 90° - α, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Теперь, учитывая, что угол между диагоналями составляет 50°, мы можем записать:

• α + (90° - α) = 50°.

Поскольку это два угла, которые образуют диагонали с одной стороной, мы можем использовать свойства треугольника, чтобы найти α:

• α + (90° - α) = 50°
• 90° = 50° + α
• α = 90° - 50° = 40°.

Таким образом, углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника, составляют 40° и 50° (так как 90° - 40° = 50°).