Для начала давайте вспомним, что средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она равна полусумме оснований трапеции и параллельна основаниям.

Шаг 1: Докажем, что средняя линия делит диагонали пополам.

• Обозначим трапецию ABCD, где AB — большее основание, CD — меньшее основание, а AD и BC — боковые стороны.
• Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно.
• По определению, MN — средняя линия трапеции, и она равна (AB + CD) / 2.
• Теперь рассмотрим диагонали AC и BD. Мы знаем, что MN || AB и MN || CD.
• По свойству параллельных линий, если провести линию через середины двух сторон, то эта линия делит диагонали пополам.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции делит каждую диагональ пополам.

Шаг 2: Найдем длину меньшего основания.

• Дано: длина большего основания AB = 14 см.
• Обозначим длину меньшего основания CD как x см.
• Согласно свойству средней линии, MN = (AB + CD) / 2 = (14 + x) / 2.
• Также известно, что расстояние между серединами диагоналей, то есть MN, равно 3 см.
• Составим уравнение: (14 + x) / 2 = 3.

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе стороны на 2: 14 + x = 6.
2. Вычтем 14 из обеих сторон: x = 6 - 14.
3. Получаем: x = -8.

Однако, длина основания не может быть отрицательной. Это значит, что в условии задачи, возможно, была допущена ошибка. Пожалуйста, проверьте данные задачи еще раз.