7. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 3 ст и 17 ст. Как найти основания трапеции?

Для решения этой задачи, давайте обозначим:

• большее основание трапеции как AB,
• меньшее основание трапеции как CD.

Согласно условию, высота из вершины тупого угла (давайте обозначим его как A) делит большее основание (AB) на отрезки:

• AE = 3 ст,
• EB = 17 ст.

Таким образом, длина большего основания AB равна:

Теперь, чтобы найти длину меньшего основания CD, воспользуемся тем, что в равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, которые равны половинам меньшего основания. То есть:

CD = AE + EB - 2 * AE = 20 ст - 2 * 3 ст = 20 ст - 6 ст = 14 ст.

Таким образом, основания трапеции равны:

8. Как можно доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны?

Для доказательства равенства диагоналей в равнобедренной трапеции рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD и AB > CD. Обозначим диагонали AC и BD.

Шаги доказательства:

1. Проведем высоты из точек C и D на основание AB. Обозначим точки пересечения высот с AB как E и F соответственно.
2. В равнобедренной трапеции углы A и B равны, так как это свойства равнобедренной трапеции.
3. Треугольники AEC и BFD равны по двум углам и стороне (по углу при основании и высоте), что означает, что AC = BD.

Таким образом, мы доказали, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

9. Может ли в трапеции быть: три прямых угла; три острых угла; сумма трех углов равной 180°? Обоснуйте свои ответы.

Теперь рассмотрим каждую из ситуаций:

• Три прямых угла: Не может. В трапеции сумма углов равна 360 градусам, и если три угла равны 90 градусам, то четвертый угол будет равен 90 градусам, что делает фигуру прямоугольником, а не трапецией.
• Три острых угла: Не может. Если три угла острые, то их сумма будет меньше 270 градусов, и четвертый угол будет больше 90 градусов, что делает его тупым. Однако в трапеции должен быть хотя бы один тупой угол, так как она имеет две параллельные стороны.
• Сумма трех углов равной 180°: Не может. В трапеции сумма всех четырех углов всегда равна 360 градусам. Если три угла составляют 180 градусов, то четвертый угол будет равен 180 градусам, что невозможно.

10. Как найти углы прямоугольной трапеции, если отношение наибольшего и наименьшего из них равно 5:4?

Обозначим углы прямоугольной трапеции как A, B, C и D, где A и B - прямые углы (90 градусов), а C и D - углы, которые мы хотим найти. По условию, пусть угол C - наибольший, а угол D - наименьший. Тогда:

• C = 5x,
• D = 4x.

Сумма углов C и D в трапеции равна 180 градусам (так как A и B уже составляют 180 градусов):

Таким образом, 9x = 180, что дает x = 20.

Теперь подставим значение x обратно:

• C = 5 * 20 = 100 градусов,
• D = 4 * 20 = 80 градусов.

Таким образом, углы прямоугольной трапеции равны: