Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1, нам нужно сначала определить размеры основания и высоты призмы. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание ABCD. Обозначим сторону квадрата как a. Так как диагональ BD1 равна 12 см и составляет угол 60 градусов с основанием, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты призмы и стороны основания.

Диагональ BD1 можно рассмотреть как гипотенузу прямоугольного треугольника BOD1, где O - это центр основания ABCD. Высота призмы (h) будет равна OD1, а длина половины диагонали основания (OB) равна a√2/2, где a - сторона квадрата.

По теореме Пифагора мы можем записать следующее:

• BD1^2 = OB^2 + OD1^2
• 12^2 = (a√2/2)^2 + h^2

Это упростится до:

• 144 = (a^2/2) + h^2

Согласно условию, угол между диагональю и основанием равен 60 градусов. Это значит, что мы можем использовать тангенс угла для нахождения высоты:

• tan(60°) = h / (a√2 / 2)

Мы знаем, что tan(60°) = √3, следовательно:

• √3 = h / (a√2 / 2)

Отсюда мы можем выразить h:

• h = √3 * (a√2 / 2) = (a√6) / 2

Теперь подставим h в уравнение для диагонали:

• 144 = (a^2/2) + ((a√6) / 2)^2
• 144 = (a^2/2) + (6a^2 / 4)
• 144 = (a^2/2) + (3a^2 / 2)
• 144 = 2a^2

Отсюда находим a:

• a^2 = 72
• a = √72 = 6√2 см

Теперь подставим значение a в формулу для h:

• h = (6√6) / 2 = 3√6 см

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы рассчитывается по формуле:

• Площадь полной поверхности = 2 * Sосн + Sбок

Где Sосн - площадь основания, Sбок - площадь боковой поверхности.

• Sосн = a^2 = (6√2)^2 = 72 см²
• Sбок = периметр основания * высота = 4a * h = 4 * (6√2) * (3√6) = 72√12 см² = 144 см²

Теперь подставим значения в формулу:

• Площадь полной поверхности = 2 * 72 + 144 = 144 + 144 = 288 см²

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 288 см².