Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Геометрия 8 класс Свойства четырехугольников геометрия 8 класс выпуклый четырёхугольник середины сторон вершины параллелограмма доказательство свойства четырехугольника параллелограмм геометрические доказательства учебный материал задачи по геометрии Новый

Давайте докажем, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника образуют параллелограмм. Для этого следуем определённому алгоритму.

1. Проведём диагональ четырехугольника. Обозначим наш выпуклый четырехугольник как ABCD и проведём диагональ AC. Теперь у нас есть два треугольника: треугольник ABC и треугольник ACD.

2. Найдём середины сторон. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как M, N, P и Q соответственно. То есть, M - середина AB, N - середина BC, P - середина CD и Q - середина DA.

3. Рассмотрим треугольники. Теперь у нас есть два треугольника: ABC и ACD. Для каждого из этих треугольников найдем средние линии:

• Средняя линия в треугольнике ABC соединяет середины сторон AB и AC, то есть MN.
• Средняя линия в треугольнике ACD соединяет середины сторон AC и CD, то есть PQ.

4. Свойства средних линий. Мы знаем, что средняя линия в треугольнике равна половине длины основания и параллельна ему. Таким образом, MN будет равно половине длины стороны AC и параллельно AC, а PQ будет равно половине длины той же стороны AC и тоже будет параллельно AC.

5. Аналогично для другой пары сторон. Теперь рассмотрим средние линии NP и MQ. Средняя линия NP в треугольнике BCD будет равна половине длины стороны BD и параллельна ей, а средняя линия MQ в треугольнике ABD будет также равна половине длины той же стороны BD и параллельна ей.

6. Заключение. Мы получили, что MN и PQ параллельны и равны, а также NP и MQ параллельны и равны. Это означает, что четырехугольник MNPQ имеет две пары противоположных сторон, которые равны и параллельны. Следовательно, MNPQ является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.